10.3 平行线的性质 同步练习（含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

10.3 平行线的性质
基础过关全练
知识点 平行线的性质
1.如图,直线 AB∥CD,直线MN 分别与直线 AB、CD 交于点 E、F,且∠1=40°,则∠2等于 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.(2024青海中考)如图,一个弯曲管道AB∥CD,∠ABC=120°,则∠BCD 的度数是( )
A.120° B.30° C.60° D.150°
3.情境题·现实生活(2024 安徽合肥肥西期末)杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年.如图所示的是杆秤在称物时某一时刻的状态，其中秤纽AB 和拴秤砣的细线 CD 都是铅垂线.若∠1=102°,则∠2 的度数为 ( )
A.78° B.102° C.68° D.88°
4.(2024安徽合肥瑶海期末)如图，以下说法正确的是 ( )
A.若∠1=∠2,则AD∥BC
B.若∠1=∠3,则AB∥DC
C.若AB∥DC,则∠2=∠3
D.若AB∥DC,则∠1-∠3=∠2
5.一题多解(2024 安徽合肥庐阳二模)将一块直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠1=36°,则∠2的度数是 ( )
A.36° B.45° C.54° D.60°
6.(2023安徽芜湖无为期中)如图，将一张宽度相等的纸条沿 AB 折叠,已知 ∠1=50°,则∠2 =
7.易错题(2024山东聊城月考)如图,已知∠ABC=40°,点 D 为∠ABC内部的一点,以 D 为顶点,作∠EDF,使得 DE∥BC,DF∥AB,则∠EDF= .
8.(2024安徽合肥庐江月考)如图,∠A=58°,∠D=122°,∠1=3∠2,∠2=25°,点 P 是 BC 上一点.
(1)∠DFE的度数为 ;
(2)若CE∥PF,则∠BFP的度数为 .
9.阅读下列文字，完成推理填空.
已知:如图,∠1 = ∠4, ∠2 =∠3,请说明:AB∥CD.
证明:如图,延长 CF 交 AB 于点 G.
因为∠2=∠3,
所以 ∥CF(内错角相等，两直线平行).
所以∠1= (两直线平行，同位角相等).
因为∠1=∠4,
所以∠AGF= ( ).
所以AB∥CD( ).
10.(2024安徽芜湖期中)如图,已知点C、A、F 在一条直线上,AD⊥BC 于点 D,EF⊥BC 于点 E,交 AB 于点 G,若 AD 平分∠BAC,试说明:∠F=∠5.
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11.(2024安徽蚌埠蚌山期末，8， )骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我们的日常生活.如图所示的是某共享单车车架及其示意图.已知 AB∥DE,∠BCE = 67°,∠CEF = 137°,则∠DEF的度数为 ( )
A.43° B.53° C.70° D.67°
12.(2024 安徽宿州埇桥期中,9, )如图,AB∥EF∥CD,点 G 在AB 上,GE∥BC,GE 的延长线交 DC的延长线于点 H，则图中与∠AGE 相等的角(不含∠AGE)共有 ( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
13.(2024安徽滁州凤阳期末，9， )如图，已知直线AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ 之间的关系是 ( )
A.∠α+∠β-2∠γ=180°
B.∠β-∠α=∠γ
C.∠α+∠β+∠γ=360°
D.∠β+∠γ-∠α=180°
14. 铅笔模型(2023 湖北荆州中考,7, )如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD,∠B =∠D =80°,∠E = ∠F =47°，则图中∠G的度数是
A.80° B.76° C.66° D.56°
15.(2023 山东威海中考，12， )某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图，从点 O 照射到抛物线上的光线 OA、OB 反射后都沿着与直线 PQ 平行的方向射出.若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC= °.
16.(2023 安徽芜湖月考,19, )如图,已知 BD∥AP∥GE,AF∥DE,∠1=55°.
(1)求∠AFG的度数.
(2)若AQ 平分∠FAC,交 BD 的延长线于点Q,且∠Q=10°,求∠ACB 的度数.
Q
素养探究全练
17.两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.已知直线AB∥CD，P 为平面内一点,连接PA,PD.
(1) 如图 1,已知 ∠A = 50°,∠D = 150°,则∠APD的度数为 .
(2)如图2,设∠A=α,∠D=β,猜想α,β,∠P之间的数量关系，并证明.
(3)如图3, AN交DP 于点O, 求∠N的度数.
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微专题 三角尺中的平行线
例题 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,其中∠ACB=∠CDE=90°,∠A=60°,∠E=45°,若 CE∥AB,CB 与 DE 相交于点 F,则∠DCF 的度数为 ( )
A.10° B.15°
C.20° D.30°
变式一 直尺+三角尺
1.把一块直尺与一块直角三角尺按如图所示的方式放置,若∠1 =40°,则∠2 的度数为 ( )
A.140° B.130° C.50° D.120°
变式二 平行线+三角尺
2.如图,直线 MN∥PQ,将一块含 30°角的直角三角尺ABC按如图所示的位置摆放，点A 落在 MN上,点 B 落在 PQ 上,∠C=90°,∠BAC=30°,若∠BAN =22°,则∠CDP 的度数为 ( )
A.52° B.135° C.158° D.128°
10.3 平行线的性质
基础过关全练
①C因为AB∥CD,所以∠DFN=∠1=40°,所以∠2=180°-∠DFN=140°.
②C因为AB∥CD,所以∠BCD+∠ABC=180°,因为∠ABC=120°,所以∠BCD=180°-∠ABC=60°.
③A 因为∠1=102°,所以. 因为AB,CD 都是铅垂线,所以AB∥CD,所以∠2=∠BCD=78°.
4C 由∠1=∠2不能判定AD∥BC,故选项A不符合题意;由∠1=∠3不能判定AB∥DC,故选项 B不符合题意;由AB∥DC能得到∠2=∠3,故选项 C符合题意;因为AB∥DC,所以∠3=∠2,∠BAD=∠3+∠CAD=∠1,所以∠1-∠3=∠CAD,所以∠1-∠3≠∠2，故选项D不符合题意.
⑤C【解法一】如图,过M作MN∥AB,因为AB∥CD,所以MN∥AB∥CD,所以∠CMN=∠1=36°,∠2=∠AMN,所以 ,所以∠2=54°.
【解法二】如图，过∠2的顶点作直线b∥a，则∠2+∠4=90°,∠1=∠3,因为直尺对边平行,所以∠3=∠4,所以∠1=∠4,所以∠2=90°-∠4=90°-∠1=
6答案 100°
解析 如图,由题意知AC∥BD,∠3=∠1=50°,所以∠2=∠CAD=∠3+∠1=100°.
⑦答案 40°或140°
解析 如图1,延长ED交AB于G,因为DE∥BC,所以∠AGE=∠B=40°,因为 DF∥AB,所以∠EDF=∠AGE=40°.如图2,设 DF 交 BC 于 H,因为 DF∥AB,所以∠DHC=∠B=40°,因为 DE∥BC,所以∠EDF+∠DHC = 180°,所以 140°.综上,∠EDF的度数为40°或140°.
·易错警示
当图形位置不明确时，一般来说会有多种可能性，应根据图形分析问题的所有可能性，防止漏解.
⑧答案 (1)75° (2)50°
解析 (1)因为∠A=58°,∠D=122°,
所以∠A+∠D=180°,所以AB∥CD.因为∠1=3∠2,∠2=25°,所以. ,所以∠DFE=∠1=75°.
(2)因为CE∥PF,∠2=25°,所以∠CFP=∠2=25°,因为∠DFE=75°,所以∠CFB=∠DFE=75°,所以∠BFP=∠CFB-∠CFP=50°.
⑨解析 因为∠2=∠3,
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行).
所以∠1=∠AGF(两直线平行，同位角相等).
因为∠1=∠4,所以∠AGF=∠4(等量代换).
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
故答案为 BE;∠AGF;∠4;等量代换;内错角相等,两直线平行.
⑩证明 因为AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点 E,所以∠1=∠2=90°,所以AD∥FE,
所以∠4=∠5,∠3=∠F,
因为AD平分∠BAC,所以∠3=∠4,
所以∠F=∠5.
能力提升全练
11 C 因为AB∥DE,所以∠CED=∠BCE=67°,所以∠DEF=∠CEF-∠CED=70°.
12B 因为AB∥EF∥CD,所以∠AGE=∠GEP=∠H,又因为GE∥BC,所以 ∠AGE = ∠ABP = ∠BPF =∠CPE=∠DCP,所以题图中与∠AGE 相等的角(不含∠AGE)共有6个.
13 D 如图,过E作直线EF∥AB,
所以∠FEA=∠EAB=∠α,所以∠FED=∠β-∠FEA=∠β-∠α.因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD,所以∠γ+∠FED=180°,即∠β+∠γ-∠α=180°.
14 C 如图,延长AB交EG于点M,延长CD交GF于点N,过点 G作AB的平行线GH.
因为∠EBA=80°,所以∠EBM=100°,又∠E=47°,所以 同理,∠FNC=33°.因为AB∥CD,AB∥HG,所以 HG∥CD∥AB,所以∠MGH=∠EMA=33°,∠NGH=∠FNC=33°,所以.
15 答案 60
解析 因为BD∥PQ,所以∠POB=∠OBD=90°.
因为∠AOB=150°,
所以∠AOP=∠AOB-∠POB=150°-90°=60°.
因为AC∥PQ,所以∠OAC=∠AOP=60°.
解析 (1)因为BD∥GE,∠1=55°,所以∠E=∠1=55°.
因为AF∥DE,所以∠AFG=∠E=55°.
(2)由(1)知∠AFG=55°,
因为AP∥GE,所以∠FAP=∠AFG=55°.
因为BD∥AP,∠Q=10°,所以∠PAQ=∠Q=10°,所以∠FAQ=∠FAP+∠PAQ=55°+10°=65°.
因为AQ平分∠FAC,所以∠QAC=∠FAQ=65°,所以∠PAC=∠QAC+∠PAQ=65°+10°=75°.
因为BD∥AP,
所以∠ACB=∠PAC=75°.
素养探究全练
解析 (1)如图,过点 P作PE∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥PE∥CD,所以∠APE=∠A=50°,∠DPE+∠D=180°,所以， 所以∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°.故答案为80°.
(2)α+β-∠DPA=180°.证明如下:
如图,过点P作PM∥AB,
因为AB∥CD,所以AB∥PM∥CD,
所以∠DPM=∠D=β,∠APM+∠A=180°,
所以∠APM=180°-α,
所以∠DPM=∠DPA+∠APM=∠DPA+180°-α,
所以
所以α+β-∠DPA=180°.
(3)因为AP⊥PD,所以∠P=90°,
因为
所以
因为∠PAN+∠POA=90°,所以
因为∠POA=∠NOD,所以
因为
所以
由(2)的结论可得∠PAB+∠PDC=180°+∠P,所以∠PAB+∠PDC=270°,
所以
所以∠N=180°-(∠NOD+∠ODN) = 180°-90°=90°.
微专题 三角尺中的平行线
例题 B 因为∠ACB=∠CDE=90°,∠A=60°,∠E=45°,所以∠DCE=45°,∠B=30°.因为 CE∥AB,所以∠ECF=∠B=30°,所以∠DCF=∠DCE-∠ECF=15°.
变式① B 如图,因为EF∥GH,所以∠FCD=∠2.因为∠1+∠A+∠ACB= 180°,∠ACB+∠FCD =180°,所以∠FCD=∠1+∠A,因为∠1=40°,∠A=90°,所以∠2=∠FCD=130°.
变式② D 因为MN∥PQ,所以∠ABP=∠BAN=22°,所以∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=128°,所以∠CDP=∠ADB=128°.