平行线中的“拐点”问题 专项练习 （含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

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平行线中的“拐点”问题 专项练习
类型一“M”型图
1.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB 与CD 有怎样的位置关系，并说明理由.
类型二 双“M”型图
2.(2024 安徽淮北期末)如图,AB∥CD,ME 平分∠AMF,NF 平分∠CNE,EN,MF 交于点 O.
(1)若 ∠AMF = 50°, ∠CNE = 40°, 分 别求∠MEN,∠MFN的度数.
(2) 若∠MEN+60°= 2∠MFN,求 ∠AMF 的度数.
(3)探究∠MEN,∠MFN与∠MON之间的数量关系.
类型三 “Z”型图
3.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°.求∠ABC 的度数.
类型四 双“Z”型图
4.(2024上海松江期中)如图所示,∠BAP 与∠APD互补,∠BAE=∠CPF.试说明∠E=∠F.
类型五 “U”型图
5.(2024江西宜春高安期中)如图,AE 交 BC 于 E,ED⊥EA,∠BAE+∠EDC=90°.
(1)试说明:AB∥DC.
(2)M、N分别在 BA、CD的延长线上,∠EAM 和∠EDN的平分线相交于 F，求∠F 的度数.
6.(2024 浙江绍兴新昌期末)如图，一束光线 AB 射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线 CD，反射过程中，∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)若AB∥CD,且∠1=40°,求∠4的度数.
(2)探究∠2 与∠3 满足什么关系时，光线AB与光线 CD 平行.
类型六 “铅笔”型图
7.(2024广东阳江阳东期中)综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动.如图1,∠EFH=90°,点A、C 分别在射线FE、FH上,AB∥CD.
(1)若∠FAB=150°,则∠HCD 的度数是多少 探究中小聪同学发现，过点 F 作 FG∥AB即可得到∠HCD 的度数，请直接写出∠HCD 的度数.
(2)小明同学发现，无论∠FAB 的度数如何变化,∠FAB-∠HCD 的值都不变,为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2,过点A 作AM∥FH 交 CD 于点 M,请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由.
(3)如图3,把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=α” ，其他条件保持不变，猜想∠FAB 与∠HCD的数量关系，并说明理由.
①解析 AB∥CD.
理由:如图,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF.
因为∠BED=∠B+∠D,∠BED=∠BEF+∠DEF,所以∠D=∠DEF,
所以CD∥EF,所以AB∥CD.
②解析 (1)过点 E作EH∥AB,如图.
因为AB∥CD,所以EH∥AB∥CD,
所以∠1=∠AME,∠2=∠CNE,
所以∠MEN=∠1+∠2=∠AME+∠CNE.
因为ME是∠AMF的平分线，
所以
所以
同理，
(2)因为
所以2∠MFN=2∠AMF+∠CNE,
因为
所以
因为 ,即2∠MFN-∠MEN=60°,所以 解得∠AMF=40°.
(3)易证∠MON=∠AMF+∠CNE,
因为∠MEN= ∠AMF+∠CNE,∠MFN=∠AMF+
所以2∠MEN=∠AMF+2∠CNE,2∠MFN=2∠AMF+∠CNE,
所以2∠MEN+2∠MFN=3(∠AMF+∠CNE),所以 所以
③解析 如图,过点 C作 CF∥AB.
因为AB∥DE,所以DE∥CF,
所以
所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°,
因为AB∥CF,
所以∠ABC=∠BCF=72°.
④解析 延长AE 交 CD于点 G,如图.
因为∠BAP与∠APD互补,
所以∠BAP+∠APD=180°,
所以AB∥CD,所以∠BAE=∠AGC,
因为∠BAE=∠CPF,
所以∠AGC=∠CPF,所以FP∥AG,
所以∠AEF=∠F.
⑤解析 (1)如图,过E作EG∥AB,则∠1=∠3.
因为ED⊥EA,
所以∠3+∠4=90°.
因为∠1+∠2=90°,
所以∠4=∠2,
所以EG∥CD,
所以AB∥DC.
(2)如图,过F作FH∥AB,则∠5=∠7,
因为AB∥DC,
所以FH∥DC,
所以∠6=∠8,
所以∠AFD=∠7+∠8=∠5+∠6.
因为AF平分∠MAE,DF平分∠NDE,
所以∠MAE=2∠5,∠NDE=2∠6,
因为∠1+∠2=90°,
所以
所以∠AFD=∠5+∠6=135°.
6解析 (1)因为∠1=∠2,∠1=40°,
所以∠2=∠1=40°,
所以∠ABC=180°-∠1-∠2=100°.
因为AB∥CD,
所以∠ABC+∠BCD=180°,
所以∠
所以∠3+∠4=180°-∠BCD=100°.
因为∠3=∠4,
所以∠4=∠3=50°.
(2)当∠2+∠3=90°时,光线AB 与光线CD 平行.
理由:因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠2+∠3=90°,
所以∠1+∠4=∠2+∠3=90°,
所以∠ABC+∠BCD=2×180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)
=180°,
所以AB∥CD.
⑦解析 (1)因为FG∥AB,
所以∠AFG+∠FAB=180°,
所以
因为∠EFH=90°,
所以∠CFG=∠EFH-∠AFG=90°-30°=60°.
因为AB∥CD,FG∥AB,
所以FG∥CD,
所以∠HCD=∠CFG=60°.
(2)该定值为90°.理由如下：
因为AM∥FH,
所以∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠AMC,所以∠FAM=180°-∠EFH=180°-90°=90°,
因为AB∥CD,
所以∠BAM=∠AMC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°,所以无论∠FAB的度数如何变化,∠FAB-∠HCD 的值都不变，为定值，该定值为90°.
(3)∠FAB-∠HCD=180°-α.理由如下:如图,过点A作AN∥FH交CD 于点N,
所以∠EFH+∠FAN=180°,∠HCD=∠ANC,
所以∠FAN=180°-∠EFH=180°-α,
因为AB∥CD,
所以∠BAN=∠ANC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-α.