10.1 相交线同步练习（含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

10.1 相交线
第1 课时对顶角
基础过关全练
知识点 1 对顶角
1.(2024安徽黄山期中)下列各图中,∠1 与∠2 是对顶角的是 ( )
2.(2024安徽淮北期末)如图，直线 a，b 相交于点O,若∠1=44°,则∠2等于 ( )
A.136° B.56° C.46° D.44°
3.(2024安徽合肥庐江月考)如图，已知直线AB，CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠AOE=145°,则∠AOD的度数是 ( )
A.70° B.80°
C.55° D.65°
4.(2024安徽合肥庐阳期末)如图,AB、CD 相交于点O,∠EOB=90°,那么下列结论错误的是( )
A.∠AOC与∠BOD 是对顶角
B.∠AOC与∠COE互为余角
C.∠BOD 与∠COE互为余角
D.∠COE 与∠AOD互为补角
5.(2024江苏南通如皋期中)如图，与∠1 的度数最接近的是 ( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
6.跨物理·光的折射(2024 河北邢台月考)光从空气射入水中会发生折射现象，如图1所示.小华为了观察光的折射现象，设计了如图2 所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝却碰不上物块.图3 是该实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，是∠PDM 的对顶角的是 ( )
A.∠BCD B.∠FDB C.∠BDN D.∠CDB
7.如图，直线l 与l 相交于点 O，如果∠1+∠2=270°,那么∠3 的度数为 .
如图,直线AB,CD,EF交于点 O,则∠1+∠2+∠3= °.
9.如图1，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙内，如图2，小轩延长AO 至点 C，延长 BO 至点D,可得∠AOB=∠COD,小轩测量∠AOB 的依据是 .
10.(2023安徽芜湖期中)如图,直线AB、CD 相交于O,∠EOC=90°,∠COF=32°,∠BOD=26°,试说明:OF是∠AOE的平分线.
能力提升全练
11.方程思想(2024 安徽合肥庐江期中,10, )如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,∠DOE=α,∠DOF: ∠AOD=2∶3,射线 OE 平分∠BOF,则∠BOC= ( )
A.90°-α B.180°-2α
C.360°-4α
12.(2023江西九江都昌期末，11， )两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是(2x-10)°和(100-x)°,则x=_________ .
13.(2024河北廊坊期末,22, )如图,直线AB,CD相交于点 O,已知∠BOC=75°,OM 将∠AOD分成两个角,且∠AOM:∠MOD=2∶3.
(1)求∠AOM 的度数.
(2)若ON平分∠BOM,则OB平分∠CON吗 若平分，请说明理由.
14.(2024河南洛阳洛龙期中,20, )如图,直线AB和 CD 相交于点 O,OE 把∠AOC分成两部分,且∠AOE : ∠EOC =3 : 5,OF 平分∠BOE
(1)若∠BOD=72°,求∠BOE 的度数.
(2)若∠BOF = 2∠AOE+15°,求 ∠COF 的度数.
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垂线
基础过关全练
知识点 2 垂直的定义
1.(2024安徽合肥肥西期末)如图,直线AB,CD 相交于点 O,EO ⊥ CD 于点 O, ∠AOE = 36°,则∠BOD= ( )
A.36° B.44°
C.50° D.54°
2.(2024安徽蚌埠期末)如图,直线AB,CD 交于点O,OE⊥CD 于点 O.若∠AOE=110°,则∠BOD的度数为 ( )
A.40° B.35°
C.30° D.20°
3.如图，直线AB，CD交于点O,射线 OF⊥OD且OF平分∠AOE,若∠BOD=20°,则∠DOE= ( )
A.20° B.25°
C.30° D.40°
4.易错题(2024 安徽淮北期末)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=40°,过点O 作射线OE,使OE⊥CD,则∠AOE的度数为 .
5.(2024安徽合肥庐江月考)如图,直线AB,CD 相交于点O,OM⊥AB于点 O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数.
(2)若∠BOC=4∠1,求∠MOD的度数.
知识点 3 垂线的画法
6.(2024安徽合肥庐江期中)过点 P 作 AB 的垂线CD，下列选项中，直角三角尺的放法正确的是 ( )
知识点4 垂线的性质
7.(2024安徽芜湖期中)如图，在同一平面内，OA⊥l,OB⊥l,垂足均为O,则 OA 与OB 重合的理由是 ( )
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.已知直线的垂线只有一条
知识点5 点到直线的距离
如图,AC⊥BC,CD⊥AB，垂足分别为点 C，D，则点 B到直线AC的距离是线段 ( )
A. BA 的长
B. BC的长
C. AC的长
D. CD的长
9.如图，笔直小路 DE 的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB=4m,AC=6m,则点A到 DE 的距离可能为(所有点均在同一平面内) ( )
A.6m B.5m C.4m D.3m
10. 如图，在三角形 ABC 中，已知∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,P 为直线AB 上一个动点，连接 CP，则线段 CP 的最小值是 .
能力提升全练
11.已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是 .
12.如图,直线AB,CD相交于点 O,OE⊥AB,OF平分∠EOD,若∠AOC=40°,则∠FOB= °.
13.(2024 湖北恩施州期末,14, ) 已知∠AOB 和∠BOC互为邻补角,OD平分∠BOC,射线 OE在∠AOB 内部,且 4∠BOE+∠BOC = 180°,∠DOE=65°,OM⊥OB,则∠MOE 的度数为 .
14.(2024 安徽安庆桐城期末,18, )如图,直线AB,CD相交于点 O,OF⊥AB,OE平分∠AOD.
(1)若∠BOD=60°,求∠COE的度数.
(2)若∠AOC : ∠COF=2: 1,求∠DOE 的度数.
素养探究全练
15.推理能力(2024河北邢台期中)如图，已知直线AB,CD相交于点 O,OE平分∠BOD,FO⊥OE.(M7210001)
(1)如果∠AOC = 66°,求∠AOD,∠BOE 的度数.
(2)如果∠AOC:∠AOD=2∶3,求∠FOD的度数.
10.1 相交线
第1 课时 对顶角
基础过关全练
①B选项A中，∠1和∠2没有公共顶点，不是对顶角；选项B中，由∠1的两边的反向延长线能得到∠2，符合对顶角的概念；选项C和选项D中，由∠1的两边的反向延长线不能得到∠2，不是对顶角.故选 B.
②D由对顶角相等可知∠2=∠1=44°.故选 D.
③A ∠BOE=∠AOB-∠AOE=180°-145°=35°,因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE=70°.因为∠AOD 和∠BOC互为对顶角,所以∠AOD=∠BOC=70°.故选 A.
④D ∠AOC与∠BOD 是对顶角,故选项 A 结论正确;∠AOC 与∠COE 互为余角,故选项 B 结论正确;∠BOD 与∠COE互为余角，故选项 C结论正确；因为∠COE+∠DOE=180°,所以∠COE 与∠DOE互为补角，故选项 D结论错误.故选 D.
5C如图,由量角器的读数可知,∠AOE=155°,∠BOE=50°,所以∠AOB =∠AOE--∠BOE =155°-50°=105°,所以∠1=∠AOB=105°.故选 C.
6 C观察题图可知，∠PDM 的对顶角是∠BDN.故选 C.
⑦答案 45°
解析 因为∠1+∠2=270°,∠1=∠2,所以∠1=135°,所以∠3=180°-∠1=45°.
⑧答案 180
解析 因为∠2与∠DOE 是对顶角,所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠DOE+∠3=∠AOB=180°.
⑨答案 对顶角相等
解析 由题图2可知∠AOB 和∠COD 是对顶角，则∠AOB=∠COD.
⑩证明 因为∠EOC=90°,∠COF=32°,
所以∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°.
因为∠AOC=∠BOD=26°,
所以
所以∠AOF=∠EOF,
所以OF是∠AOE的平分线.
能力提升全练
11 D 因为∠DOF:∠AOD=2:3,所以可设∠DOF=2x,∠AOD=3x,因为∠DOE=α,所以∠FOE=α-2x.因为射线OE平分∠BOF,所以∠BOE=∠FOE=α-2x.因为∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°,所以3x+α+α-2x=180°,解得 x=180°-2α,所以∠AOD =3× ,所以∠BOC=∠AOD=540°-6α.故选 D.
答案 或90
解析 根据题意可得2x-10=100-x或2x-10+100-x=180,解得 或x=90，故答案为 或90.
解析 (1)因为∠BOC=75°,
所以∠AOD=∠BOC=75°.
因为∠AOM:∠MOD=2:3,
所以
(2)OB平分∠CON.理由如下:
由(1)知∠AOM=30°,
所以
因为ON平分∠BOM,
所以
因为∠BOC=75°,
所以∠BOC=∠BON,
所以OB平分∠CON.
解析 (1)由对顶角相等,得∠AOC=∠BOD=72°,因为OE把∠AOC分成两部分,且∠AOE: ∠EOC=3:5,
所以
因为∠BOE+∠AOE=180°,
所以
(2)因为OF平分∠BOE,∠BOF=2∠AOE+15°,
所以∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.
因为∠BOE+∠AOE=180°,
所以4 °,解得∠AOE=30°,
所以∠EOC=50°,∠BOE=150°,
所以∠EOF=∠BOF=75°,
所以∠COF=∠EOF-∠EOC=75°-50°=25°.
第2课时 垂线
基础过关全练
①D 因为EO⊥CD,所以∠EOD=90°,又因为∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,∠AOE=36°,所以∠BOD=54°.故选 D.
②D 因为OE⊥CD,所以∠COE=90°,又因为∠AOE=110°,所以 所以∠BOD=∠AOC=20°.故选 D.
③A 【解法一】因为 OF⊥OD,所以∠FOD=90°,所以∠AOF+∠BOD=180°-∠FOD=90°,所以∠AOF=90°-∠BOD=70°.因为OF平分∠AOE,所以∠EOF=∠AOF=70°,所以∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-70°=20°.故选 A.
【解法二】因为OF⊥OD,所以∠DOF=∠COF=90°,所以∠AOC+∠AOF=∠DOE+∠EOF,因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF,所以∠DOE=∠AOC=∠BOD=20°.故选 A.
④答案 50°或130°
解析 因为∠AOC=40°,所以∠AOD=140°.如图1,当OE位于AB上方时,因为OE⊥OD,所以∠DOE=90°,所以∠AOE=∠AOD-∠DOE=140°-90°=50°;如图2,当OE位于AB下方时,因为OE⊥CD,所以∠COE=90°,所以∠AOE=∠AOC+∠COE=40°+90°=130°.综上所述,∠AOE 的度数为50°或130°.
·易错警示
由于射线OE的位置不确定，故需要进行分类讨论，防止漏解.
⑤ 解析 (1)因为OM⊥AB,
所以∠AOM=90°,
所以∠AOC+∠1=90°.
因为∠1=∠2,
所以∠AOC+∠2=90°,即∠NOC=90°,
所以∠NOD=180°-∠NOC=90°.
(2)因为OM⊥AB,
所以∠BOM=90°.
因为∠BOC=4∠1,
所以∠BOM+∠1=4∠1,即90°+∠1=4∠1,
解得∠1=30°,
所以∠MOD=180°-∠1=150°.
6C 用直角三角尺的一条直角边(所在直线)与AB 重合，移动三角尺使另一条直角边过点 P，然后沿过点P 的直角边画直线即可.故选 C.
7C
8B 因为AC⊥BC，所以点B到直线AC的距离是线段BC的长.
9D 根据垂线段最短得，点A到DE的距离小于AB 的长，故点A到DE 的距离可能为3m .故选 D.
⑩答案
解析 根据垂线段最短可知，当 CP⊥AB 时，CP 有最小值.此时根据三角形面积公式，得 所以
能力提升全练
①答案 75°,105°
解析 因为一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，所以这两个角相等或互补.又因为这两个角的差是30°，所以这两个角互补.设较小的一个角为α，则另一个角为α+30°，根据题意得 解得α=75°,所以( .所以这两个角的度数分别是75°,105°.
答案 65
解析 因为直线AB,CD相交于点O,∠AOC=40°,所以∠BOD=∠AOC=40°.
因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°,
所以∠EOD=∠EOB-∠BOD=90°-40°=50°.因为OF平分∠EOD,所以 25°,所以∠FOB=∠FOD+∠BOD=25°+40°=65°.
答案 115°或65°
解析 分两种情况进行讨论：
①当OM在AC的上方时，如图所示，
因为OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD.
因为4∠BOE+∠BOC=180°,∠AOB+∠BOC=180°,所以∠AOB=4∠BOE,即∠AOE=3∠BOE.
设∠BOE=α,则∠AOE=3α,∠COD=∠BOD=65°-α,因为∠AOC为平角,所以∠AOE+∠DOE+∠COD
=180°,即3 ,解得α=25°,所以∠BOE=25°.因为OM⊥OB,所以∠MOB=90°,所以∠MOE=∠BOE+∠MOB=25°+90°=115°.
②当OM在AC的下方时，如图所示，
同理可得,∠BOE=25°,因为OM⊥OB,
所以∠MOB=90°,
所以∠MOE=∠MOB-∠BOE=90°-25°=65°.
综上,∠MOE的度数为115°或65°.
解析 (1)因为OE平分∠AOD,∠BOD=60°,所以 =60°,
所以
(2)因为∠AOC:∠COF=2:1,
所以设∠COF=x,∠AOC=2x.
因为OF⊥AB,所以∠FOA=90°,
所以x+2x=90°,解得x=30°,
所以∠AOC=60°.
因为OE平分∠AOD,
所以∠AOE=∠DOE.
因为∠AOE+∠DOE+∠AOC=180°,
所以：
所以∠DOE=60°.
素养探究全练
15 解析 (1)因为直线AB,CD相交于点O,
所以∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD=∠AOC.
因为∠AOC=66°,
所以∠AOD=180°-∠AOC=114°,∠BOD=∠AOC=66°.
因为OE平分∠BOD,
所以
(2)因为∠AOC:∠AOD=2:3,
所以设∠AOC=2α,∠AOD=3α.
因为∠AOC+∠AOD=180°,
所以2α+3α=180°,
解得α=36°,
所以∠AOC=2α=72°,
所以∠BOD=∠AOC=72°.
因为OE平分∠BOD,
所以
因为FO⊥OE,所以∠FOE=90°,所以∠FOD=∠FOE-∠DOE=90°-36°=54°.