9.3 分式方程 同步练习（含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

9.3 分式方程
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第1 课时 分式方程及其解法
基础过关全练
知识点1 分式方程的定义
1.(2024广西贺州八步三模)下列式子中，是分式方程的是 ( )
2.(2024 安徽宿州泗县月考)下列关于 x 的方程： 其中是分式方程的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
知识点 2 分式方程的解法
3.(2024安徽安庆桐城期末)解方程 两边同乘(x-1)后得到的式子为( )
A.2-3=-x B.2-3(x-1)=-x
C.2-3(x-1)=x D.2+3(x-1)=-x
4.若代数式 和 的值互为相反数,则x等于 ( )
A.1 B C.2 D
5.(2024安徽合肥包河期末)分式方程 的解为 ( )
A. x=4 B. x=-5
C. x=-6 D. x=-4
6.对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为 这里等式右边是实数运算.例如： 则方程 的解是( )
A. x=5 B. x=6
C. x=7 D. x=8
7.解方程:
(1)(2024安徽宿州桶桥月考)
(2)(2024安徽合肥庐江期末)
(3)(2024安徽蚌埠二模)
(4)(2024北京一零一中学模拟)
知识点 3 分式方程的增根
8.(2024安徽宿州埔桥期末)若关于x 的分式方程 有增根,则m的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
9.(2024 浙江绍兴诸暨期末)关于x 的分式方程 有增根,则a 的值是 .
10.(2024 安徽蚌埠期末)解方程:
11.已知关于x的分式方程
(1)若方程有增根，求k的值.
(2)若方程的解为负数，求k的取值范围.
能力提升全练
12.(2024安徽亳州期末,10, )若关于x的分式方程 的解为正数，则m 的取值范围是 ( )
A. m<-2 B. m>-2且m≠-1
C. m>-2 D. m<2且m≠1
13.已知关于x的分式方程 无解，则k 的值为 ( )
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
14.(2024安徽安庆太湖月考,14, ) 已知关于x 的分式方程
(1)若方程的根为x=4，则m的值为 ；
(2)若方程的解为负数，则m 的取值范围为 `
15.解方程:
的解是x=0;
的解是x=1;
的解是x=2;
的解是x= .
(1)请完成上面的填空.
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解.
(3)请你写出第n个方程，并写出它的解.
16.(2023 江苏扬州江都期中,26, )已知关于x 的分式方程
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值.
(2)若分式方程有增根，求a的值.
(3)若分式方程无解，求a的值.
第2 课时 分式方程的应用
基础过关全练
知识点4 分式方程的应用
1.(2024安徽合肥一六八中学期末)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，则乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x 个零件，可列方程为 ( )
2.(2024安徽安庆太湖月考)某铁路的某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两个工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是 ( )
A.30天 B.35天 C.40天 D.60天
3.跨物理·电路电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻.如图所示，当两个电阻 R ，R 并联时，总电阻满足 若 10Ω,则 R ,R 分别为 ( )
A.30Ω,15Ω
C.15Ω,30Ω
4.王老师从学校出发，到距离学校 2 000 m 的某商场去给学生买奖品，他先步行了800 m，然后骑共享单车到达商场，全程总共用了 15 min.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行的平均速度的3 倍(转换出行方式时，所需时间忽略不计).求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少.
5.情境题·中华优秀传统文化(2024 安徽阜阳三模)端午节是我国的传统节日，端午食粽是我国大部分地区的传统习俗.某社区超市端午节期间销售某品牌的粽子.已知每盒粽子节前的进价比节后多10元，节前用2 000 元购进粽子的盒数与节后用1 800 元购进的盒数相同.求节前每盒粽子的进价是多少元.
6.(2024安徽合肥期末)甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成这项工程所需天数的1.5倍，若由甲队先单独施工10天，乙队再加入，两队还需同时施工20天才能完成这项工程.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天.
(2)已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为 5 500 元，若该工程由甲、乙两个工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元
能力提升全练
7.(2024 四川广元中考，8， )我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A 种绿植单价是B 种绿植单价的3倍，用6750元购买的A 种绿植比用3 000 元购买的 B 种绿植少50株.设 B种绿植单价是x元，则可列方程是 ( )
8.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产 600 件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( )
A.200 B.300 C.400 D.500
9.跨艺术·书画 (2023安徽蚌埠一模,16, )如图,某书画家的作品的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的长方形，装裱后，整幅图画长与宽的比是13∶8，且四周边衬的宽度相等,求边衬的宽度.
10.某园林绿化公司承接了30万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季到来之前完成任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前15 天完成这一任务
(1)用含x的代数式填表(结果不需要化简).
工作效率/(万平方米/天) 工作时间/天 总任务量/万平方米
原计划 x ① 30
实际 ② ③ 30
① ;② ;③ .
(2)求(1)的表格中x的值.
11.某集团有甲、乙两个工程队，该集团承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务.已知乙工程队单独施工需要40个月才能完成该项任务.
(1)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月.
(2)如果两个工程队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月
12.雪湖贡藕产于潜山天宁寨下的雪湖，洁白如玉，肥大粗壮，鲜嫩香甜，略呈方圆形.随着贡藕的上市，某网店用2 000元购进了一批贡藕，过了一段时间又用5 000元购进了第二批，所购质量是第一批质量的2倍，但每千克贡藕的进价比第一批的贵了5 元
(1)该网店第一批购进的贡藕有多少千克
(2)若该网店两次购进的贡藕按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2 000元，则每千克贡藕的售价至少是多少元
素养探究全练
13.模型观念(2024安徽蚌埠蚌山期末)随着新一轮科技革命和产业变革的兴起，新能源汽车产业进入加速发展的新阶段.“买新能源汽车到底划不划算”是消费者最关心的话题之一.某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油汽车和新能源汽车做了对比调查，信息如表所示：
燃油汽车 新能源汽车
油箱容积：50升 电池容量：80千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
据调查，燃油汽车每千米的行驶费用比新能源汽车多0.55元.
(1)这两款汽车每千米的行驶费用分别为多少
(2)若燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为 4 000 元和7 300 元,则每年行驶里程在什么范围时，新能源汽车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
微专题 分式方程在行程问题中的应用
应用分式方程解决行程问题的题型主要有一般的行程问题和流水行船问题这两类.一般的行程问题即是速度、时间和路程的直接关系，流水行船问题通常是一艘船在河流中顺流行驶或者逆流行驶.
情境一 一般行程问题
1.(2024 青海西宁一模)某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是 ( )
A.0.3 km/ min B.0.6 km/ min
C.0.8km/ min D.1.2k m/ min
情境二 流水行船问题
2.(2024黑龙江绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以该航速沿江逆流航行 80 km所用的时间相等，则江水的流速为( )
A.5km/h B.6km/h
C.7 km/h D.8km/h
9.3 分式方程
第1 课时 分式方程及其解法
基础过关全练
①C选项A、D是整式方程，选项B不是方程，选项C是分式方程.故选C.
②B分母中含有未知数的方程叫作分式方程，故②④是分式方程.故选 B.
3B 方程两边同乘(x-1),得2-3(x-1)=-x.故选B.
④B 根据题意，得 去分母，得.x+3(x-2)=0,解得 经检验， 是原分式方程的解，所以 故选B.
⑤D 将分式方程的两边都乘(x+1)(x-1),得2x-3-(x-1)=2(x+1),解得x=-4,经检验,x=-4是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x=-4.故选 D.
6A 根据题意，得
去分母得1=2-(x-4),解得x=5,经检验,x=5是分式方程的解.所以所求方程的解为x=5.故选 A.
⑦解析 (1)两边同时乘(x-3)(x-4),
得(x+1)(x-4)=(x-2)(x-3),
去括号，得
移项、合并同类项，得2x=10，
解得x=5,
经检验，x=5是原分式方程的解.
去分母，得x-3+x-2=-3,
移项、合并同类项，得2x=2，
解得x=1,
经检验，x=1是原分式方程的解.
(3)去分母,得2x=-1+5(x-1),
去括号,得2x=-1+5x-5,
移项、合并同类项,得-3x=-6,
解得x=2,
经检验，x=2是原分式方程的解.
(4)去分母,得2x-3-(x-1)=2(x+1),
去括号,得2x-3-x+1=2x+2,
移项、合并同类项，得-x=4，
解得x=-4,
经检验，x=-4是原分式方程的解.
⑧A 去分母,得x-3(x-2)=m+3,因为关于x的分式方程有增根，所以x-2=0，所以x=2,把x=2代入整式方程得m=-1.故选 A.
9答案 1
解析 方程两边同时乘(x-3),得2-x=-a-2(x-3),所以x=4-a,因为分式方程有增根,所以x-3=0,所以x=3,所以4-a=3,解得a=1.
⑩解析 方程两边同时乘(x+1)(x-1),
得
整理,得2x=2,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
所以x=1是增根，应舍去.
所以原分式方程无解.
解析 (1)分式方程去分母得4(x-1)+3(x+1)=k,由分式方程有增根，得x=1或x=-1，将x=1代入整式方程得k=6，将x=-1代入整式方程得k=-8,则k的值为6或-8.
(2)分式方程去分母得4(x-1)+3(x+1)=k,
整理得7x-1=k,即
根据题意得 且
解得k<-1且k≠-8.
能力提升全练
12 B 因为 所以x+m=2(x-1),所以x=2+m.因为关于x的分式方程 的解为正数,所以x>0且x-1≠0,即x>0且x≠1,所以2+m>0且2+m≠1,所以m>-2且m≠-1.故选 B.
13 A 去分母,得 kx-2(x-3)=-3,去括号,得 kx-2x+6=-3,移项、合并同类项,得(k-2)x=-9,解得x= 因为关于x的分式方程 无解，所以x-3=0或k-2=0,所以 或k-2=0,所以k=2或-1.故选 A.
答案 (1)35 (2)m<-1且m≠-10
解析 (1)把x=4代入 得 化简得 解得m=35.
去分母,得5(x-1)+4(x+1)=m，去括号，得5x-5+4x+4=m,移项、合并同类项,得9x=m+1,系数化为1,得
因为方程的解为负数，所以 目 解得m<-1且m≠-10.
解析 (1)方程两边都乘(x+1)得,4=8-x-1,解得x=3,
经检验，x=3是原分式方程的解.
故答案为3.
(2)第⑤个方程为 方程的解为x=4.
(3)第n个方程为 方程的解为x=n-1.
解析 (1)把x=5代入 得 解得a=-1.
(2)去分母,得x(x-a)-5(x-2)=x(x-2),整理,得(a+3)x=10,
由分式方程有增根,得x(x-2)=0,所以x=0或x=2,
把x=0代入(a+3)x=10,无解,
把x=2代入(a+3)x=10,解得a=2.
综上,a=2.
(3)由(2)可知,(a+3)x=10,
当a+3=0时，整式方程无解，即分式方程无解，所以a=-3,
当a+3≠0时，要使分式方程无解，
则分式方程有增根，由(2)知a=2.
综上,a=-3或a=2.
第2课时 分式方程的应用
基础过关全练
①D 根据题意可以得到等量关系为乙用的时间-甲用的时间 小时，乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题意，得 故选 D.
2A 设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是2x天，根据题意，得 解得x=30，经检验，x=30是原分式方程的根，且符合题意，故乙工程队单独完成该工程的时间是30天.故选 A.
③A 设 则 因为 =10Ω,所以 解得x=15,经检验,x=15是原分式方程的解，且符合题意，所以 =15 Ω.故选 A.
④ 解析 设王老师步行的平均速度为x m/min，则王老师骑共享单车的平均速度为 3x m/min.
依题意得
解得x=80.
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，所以3x=3×80=240.
答：王老师步行的平均速度为 80 m/min，骑共享单车的平均速度为240 m/ min.
⑤ 解析 设节前每盒粽子的进价是x元，则节后每盒粽子的进价是(x-10)元.
根据题意，得
解得x=100.
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意.
答：节前每盒粽子的进价是100元.
6解析 (1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需1.5x天，
根据题意，得
解得x=40,
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，则1.5x=1.5×40=60.
答：甲队单独完成这项工程需60天，乙队单独完成这项工程需40天.
(2)根据题意，得 元).
答：所需的施工费用是216 000元.
能力提升全练
7C 因为B种绿植单价是x元，所以A种绿植单价是3x元，利用数量=总价÷单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3 000元购买的 B种绿植少50株，可列方程为 故选 C.
8B 设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为x-100，根据题意，得 解得x=300,经检验，x=300是分式方程的解，且符合题意，故改造后每天生产的产品件数为300.故选 B.
⑨解析 设边衬的宽度为x米，
则装裱后整幅图画的长为(2.4+2x)米，宽为(1.4+2x)米,
根据题意，得 解得x=0.1,
经检验，x=0.1是原分式方程的解，且符合题意.
答：边衬的宽度为0.1米.
⑩解析 (1)由题表可得原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化(1+25%)x万平方米，原计划需要 天完成任务，实际需要 天完成任务.故答案为
(2)根据题意，得
解得
经检验 是原分式方程的解，且符合题意.
故x的值为
解析 (1)设甲工程队单独施工完成该项任务需要x个月，
根据题意，得
解得x=60,
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意.
答：甲工程队单独施工完成该项任务需要60个月.
设两个工程队从一开始就合作完成此项施工任务，需要m个月，
根据题意，得 解得m=24.
答：如果两个工程队从一开始就合作完成此项施工任务，需要24个月.
解析 (1)设该网店第一批购进的贡藕有x千克，则第二批购进的贡藕有2x千克，
根据题意，得 解得x=100,经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意.
答：该网店第一批购进的贡藕有100千克.
(2)设每千克贡藕的售价是y元，根据题意,得(100+100×2)y-2000-5000≥2000,解得y≥30.
答：每千克贡藕的售价至少是30元.
素养探究全练
解析 (1)由题意得
解得a=640,
经检验，a=640是原方程的解，且符合题意，
所以
答：燃油汽车每千米的行驶费用为0.625元，新能源汽车每千米的行驶费用为0.075元.
(2)设每年行驶的里程为m千米，由题意得0.625m+4000>0.075m+7300,解得m>6000.
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源汽车的年费用更低.
微专题 分式方程在行程问题中的应用
①A 设自行车的速度是x km/min，则汽车的速度是2x km/ min,根据题意,得 解得x=0.3,经检验，x=0.3是原方程的解，且符合题意，即自行车的速度是0.3 km/ min.
②D 设江水的流速为 xkm/h，则货轮沿江顺流航行的速度为(40+x) km/h,货轮沿江逆流航行的速度为(40-x) km/h,根据题意,得 解得x=8,经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意，所以江水的流速为8k m/h.