灌南高级中学 2024-2025 学年第二学期第一次月考
高一年级数学学科试卷
考试时间长度：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知向量 a (2,3),b (x, 4)，若 a (a b)，则实数 x （ ）
1 8 8
A．
1
B． 2 C．
D．
2 3 3
2. 化简 cos43 cos13 sin 43 sin13 ，得（ ）
1 2 3
A. 2 B. C. D. cos56 2 2
3. 已知向量 a,b的夹角为 60°，且 | a | 1,| b | 2，则 a b （ ）
1 3
A. 2 B. C. 1 D. 22
1 3
4．已知 cos cos ， sin sin ，则 cos （ ）
2 3
1 5 17 17
A． B． C． D．
24 24 24 24
5. 已知四边形 ABCD 的三个顶点为 A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且BC 2AD，则顶点
D的坐标为（ ）
A. (2, 7) B. (2, 1) C. (3，2) D. (1，3)
2 2
4 π 1
6. 已知 cos ， ,0 ， tan ，则 tan 的值为（ ）5 2 2
2 10 2
A. B. C. D. 2
5 11 11
e ,e a e 3e ,b 2e ke
7. 已知 1 2 是两个不共线的向量 1 2 1
2 ，若 a与 b 是共线向量，则实
数 k的值为（ ）
3 3
A. 6 B. 6 C. D.
2 2
高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页）
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8. 矩形 ABCD中，AB 2 ，AD 1，M 是矩形 ABCD内(不含边框)的动点，MA 1，
则MC MD的最小值为（ ）
3 6
A. 6 B. 6 1 C. 6 2 D.
2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．下列命题中错．误．的有（ ）
A． a b的充要条件是 | a
| | b | 且 a∥b B．若 a∥b，b∥ c，则 a∥c
C．若 a∥b，则存在实数 ，使得 a b D． | a | | b | | a b | | a | | b |
10. 下列计算中正确的是（ ）
tan x tan y sin x y
A.
tan x tan y sin x y
B. sin sin sin
C. cos cos cos
D. , 都是锐角， cos 5 ,sin 10 ，则 cos 2
5 10 2
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若 a,b ,c为非零向量，则 b c a c a b c 不与 垂直
B. 、 为实数，若 a b，则 a与 b共线
C. 若平面内有四个点 A,B,C,D，则必有 AC BD BC AD
AB AC
D. 在 ABC中，D为 BC的中点，若 ADAB AC ，则BD是 BA在 BC上的投影向量
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共计 15 分.
12. 设 为实数，已知 e为单位向量，向量 a的模为 2，a e，则 ______．
高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页）
{#{QQABQYy8wgAYgASACS5KA0mQCgkQkJEhLQoMBUCYqAwigYFABIA=}#}
3 tan15
13. 计算 ＝________.
1 3 tan15
14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中
国人所崇尚的图腾． AB是圆O的一条直径，且 AB 4．C ,D 是圆O上的任意两点，
CD 2，点 P在线段CD上，则 PA PB的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知 e1,e2 是平面上两个不共线的向量且 AB ke1 4e2,CD e1 ke2,BD e1 2e2
（1）若 AB,CD方向相反，求 k的值；
（2）若 A,C,D三点共线，求 k的值.
16．（15 分）求解下列各题：
（1）已知 sin cos
1
, 0, π ，求 tan 的值；
5
（2）化简： tan70 cos10 3tan20 1 .
高一数学试卷 第 3 页 （共 4 页）
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17．（15 分）已知向量 a 1,2 ,b 3,k .
（1）若a a 2b ，求实数 k的值；
（2）若 a与 b 的夹角是钝角，求实数 k的取值范围.
2
18．（17 分）已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos x .
(1)求该函数的单调递增区间；
(2)若对任意 t, ，都有 f x 1 1，求实数 t的取值范围. 2
19．（17 分）在图 1中，已知圆心角为60 的扇形 AOB 的半径为 1，C 是 AB 弧上一定点，
tan COA 1 ，P是 AB 弧上一动点，作矩形 MNPQ，如图 2 所示．
3
(1)求 AB 弧的长及扇形 AOB 的面积；
(2)若 tan POC
1
，求 POA、 BOP和 cos BOP；
2
(3)在图 2 中，求矩形 MNPQ 面积的最大值？这时 POA等于多少度？
高一数学试卷 第 4 页 （共 4 页）
{#{QQABQYy8wgAYgASACS5KA0mQCgkQkJEhLQoMBUCYqAwigYFABIA=}#}高一第二学期第一次月考数学试卷参考答案
1. B 2.C 3.C 4.C 5.A 6. D 7. A 8.C
9. ABC 10. AD 11.CD
1,0
12. 2 13. 1 14.
15.解（1）由题意知，AB//CD，则存在 R，使得 AB CD，即 ke1 4e2 e1 ke2 ，
k 2 2
从而 ，得 4 k
，或
k 2
，又 方向相反，则 2,k 2;
k 2
AB,CD
（2）由题意知， AD AB BD k 1 e1 2e2 ，由 A,C,D三点共线得，，存在 R，使
k 1 k 1 k 2
得 AD CD，即 k 1 e1 2e2 e1 ke2 ，从而 ，得 2 k 或 ， 2 1
所以 k 1或 k 2 .
sin cos
1
,
16.解（1）由 5 可得 25sin2 5sin 12 0 .
2 sin cos
2 1,
解得 sin
4 sin 3 或 ，
5 5
由 0, π 4，故 sin .
5
cos 1所以 sin
3
.
5 5
4
于是 tan .
3
tan70 cos10 3sin20
（2）原式 1cos20
sin70 cos10 3sin20 cos20
cos70 cos20
2cos10 sin20 cos30 cos20 sin30
cos70
2cos10 sin10
sin20
1 .
{#{QQABQYwUggAoABBAAQhCAw3ACgMQkBGAAQoOwFAYoAAAwRFABAA=}#}
17.解（1）因为 a 2b 5,2 2k ，且 a a 2b ，
所以1 5 2 2 2k 0 k 1，解得 .4
（2 ）因为b 与 a的夹角是钝角，
则 a b 0且 a与 b不共线，
即1 3 2 k 0且 k 6，
3
所以 k 且 k 6 .
2
18.解（1） f x 2 3 sin x cos x 2cos2 x ，
3 sin 2x cos 2x π 1 2sin 2x 1 ，
6
2x π π π π π令
2kπ , 2kπ ， k ，则 x kπ ,kπ
， k ，
6 2 2 3 6
π π
故该函数的单调递增区间 kπ , kπ ， k ； 3 6
π π
（2）对任意 t, 2
，都有 f x 1 1可得 2sin 2x 1，
6
1 1
所以 sin 2x
2
，
6 2
x t, π 又 ，所以 2t
π π 7π
2x ，
2 6 6 6
π 5π π 7π
要满足对任意 x t, ，都有 f x 1 1，则有 2t ， 2 6 6 6
π π
解得： t ，
3 2
π π
所以实数 t的取值范围为[ , ) .
3 2
π π
19.解（1）AB弧的长为 1 ，
3 3
1 π 2 π
根据扇形的面积公式可得 1 .
2 3 6
（2）因为 tan
1
POC ， tan COA
1
，
2 3
1 1
所以 tan POA
tan COA tan POC
tan COA POC 3 2 1 ,
1 tan COA tan POC 1 1 1
3 2
，因为 POA
0, π π ，所以 POA ，
3 4
{#{QQABQYwUggAoABBAAQhCAw3ACgMQkBGAAQoOwFAYoAAAwRFABAA=}#}
BOP AOB POA 60 45 15 ，
cos BOP cos15 cos 60 45 cos60 cos 45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 2 6
.
2 2 2 2 4
AOP , 0, π （3）设 , OP 1，则OQ OP cos cos ，
3
MN PQ OP sin NM 3 sin , OM sin ，tan 60 3
所以MQ OQ OM cos 3 sin ，
3
所以矩形CDEF的面积 S MQ PQ cos
3
sin 3
3
sin sin cos sin2
3
1 sin 2 3 1 cos2 1 sin 2 3 cos2 3 3 π 3 sin 2 ，
2 3 2 2 6 6 3 6 6
2 π π , 5π π 3 ，所以当 时，S取得最大值 ，6 6 6 6 6
所以 POA
π
3，矩形CDEF面积的最大值为 .
6 6
{#{QQABQYwUggAoABBAAQhCAw3ACgMQkBGAAQoOwFAYoAAAwRFABAA=}#}灌南高级中学2024—2025学年高一年级 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或
第二学期第一次月考数学答题卡 演算步骤。 16. （15分）
考场/座位号： 15. （13分）
姓名： 准考证号
班级：
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
[4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
客观题(1~8为单选题，每小题5分，共40分; 9~11为多选题，每题6分，共18
分)
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13.
14.
第1页 共6页 第2页 共6页 第3页 共6页
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17. （15分） 18. （17分）
19. （17分）
第4页 共6页 第5页 共6页 第6页 共6页
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