银川一中2024/2025学年度(下)高二第一次月考答案
一、单选题
1．【答案】A【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”，则所求为.
2．【答案】B【详解】记，函数的定义域为，，故函数在上单调递增.又，所以函数的零点个数为.
3．【答案】C【详解】∵为使系数最大，必须取偶数，即，2，4，对应的系数分别为1，40，80，故时，即第5项是展开式中的系数最大的项.
4．【答案】A【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种，将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种，所以共有种；
若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种，综上，共有种.
5．【答案】C【详解】若表示左脚的鞋子，其它表示右脚的鞋子，所以事件包含，共6种情况，所以事件的概率.
6．【答案】A【详解】若存在，使得有解，即．设，，则．令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．故的取值范围为．
7．【答案】A
，故分别为.
8．【答案】C【详解】令，因为，所以，
所以在上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点，
所以，解得，故正整数的最大值为5.
二、多选题
9．【答案】ACD.对于A，由二项式系数的性质，得第行所有数之和，A正确；对于B，第7行中从左到右第5个数与第6个数的比，B错误；
对于C，
，C正确；
对于D，由“杨辉三角”知，D正确.
10．【答案】ABD【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误；
对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确；
11．【答案】ABD【详解】显然，由，得，
所以直线与函数的图象有2个交点，又，
所以当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极小值.
又时，；当时，；当时，，
在同一直角坐标系中作出的图象以及直线，
由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两
个公共点，故A正确；
当时，，对求导得.再
对求导得.
令，即，解得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以在处取得最小值，，
即恒成立，所以是增函数，选项B正确.
当时，，，所以不恒成立，选项C错误.
当时，，，.
因为是增函数，且，所以由零点存在定理可知，
的零点满足，选项D正确.
三、填空题
12．【答案】0.61/.根据全概率公式可得英才高二年级学生的近视率为.
13．【答案】36.依题意可知，三个数字，所以四位数有个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，
再将三个数字排列，所以可能有种．
14．【答案】.切点设为，其中,有三个不同的解
即有三个不同的解.设 ，该函数有三个不同零点,
，令，则或，
令，则或，令，则，
所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在和处取得极值，要想函数有三个不同零点，
则，即所以：.
四、解答题
15．【详解】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，
最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，所以有（个）.
16．【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，
解得：或舍去．即n的值为6．
2由通项公式，令，可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．
17．【详解】（1）由题意可知，当时，，当时，，
即，解得，所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则，
则，令，得或舍去，
所以时，，为增函数，时，，为减函数，
所以时，取得最大值，，所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
18．【详解】（1）因为，所以，解得.
（2）法1：因为，当时，因为，所以，即为减函数，
又与矛盾，所以不满足题意；
当时，令，解得,所以当时，单调递减；
当时，单调递增；所以．
设，所以在是增函数，
又，所以当时，；当时，．
因为恒成立，所以．综上可得，即的最小值为1．
法2（分离法）：由且，得对任意佰成立
设，所以，令，则
所以函数在上是减函数，且．
所以当时，；当时，．
当单调递增；当单调递减，
，所以．即的最小值为1．
（3）定义域为，设，则
因为，所以，
所以（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）
所以，即,所以是定义域内的下凸函数.
19.【解析】(1) f(x)=(x-1)3-ax-b,f'(x)=3-a.
当a≤0时,单调递增;
当a>0时,f(x)在区间，单调递增,在单调递减.
（2）由f'=0得3=a.
所以f=,
f==.
所以f=f=f,所以x1+2x0=3.
(3)欲证g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于,只需证在区间[0,2]上存在x1,x2,
使得g(x1)-g(x2)≥即可.
a≥3时,f(x)在上单调递减,f(2)=1-2a-b,f(0)=-1-b,
f(0)-f(2)=2a-2≥4>成立.
0
f,
因为f(2)=1-2a-b,f(0)=-1-b,所以f(2)-f(0)=2-2a.
若0当,成立.
综上:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.银川一中2024/2025学年度(下)高二第一次月考
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每小题5分）
1．在银川一中高二某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两
门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
2．函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．的展开式中系数最大的项是
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
4．银川一中某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任英语周活动的主持
人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学
不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．18 B．24 C．27 D．64
5．柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，
记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率
A． B． C． D．
6．函数，若存在，使有解，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为
A． B． C． D．
8．函数在上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点，
则正整数的最大值为
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题（每小题6分）
9．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所
著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现. 如图所示，在“杨辉三角”
中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的
6为第3行中两个3的和. 则下列命题中正确的是
A．第行所有数之和为：
B．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为
C．
D．由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为：
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，银川一中高二年级准备利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
11．已知函数，则下列结论正确的是
A．若有2个零点，则
B．当时，是增函数
C．当时，恒成立
D．当时，若是的零点，则
三、填空题（每小题5分）
12．已知银川一中高二年级男女生人数之比为11∶9，3月18日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则高二年级学生的近视率为 .
13．银川一中某教师在开AI课堂教室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有 种可能．
14．从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．（13分）
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)比400000大的正整数.
16．（15分）
已知展开式前三项的二项式系数和为22．
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
17．（15分）
银川一中高二年级某优秀小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
(1)求的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
18．（17分）
已知函数，a∈.
(1)若曲线在点处切线方程为，求实数a的值；
(2)若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值；
(3)设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数.
19．（17分）
设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3；
(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.