北京市朝阳区2024?2025学年高三下学期2月六校联考数学试题（含解析）

北京市朝阳区2024 2025学年高三下学期2月六校联考数学试题
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．在的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的（ ）
A． B． C． D．
6．若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的公比为，记，则“，且”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（ ）
A． B． C． D．20
9．已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④
10．已知函数,下列四个命题正确的序号是
①是偶函数 ②③当时,取得极小值④满足的正整数n的最小值为9
A．①②③ B．①③④ C．①② D．①②④
二、填空题（本大题共5小题）
11．抛物线的焦点坐标是 .
12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 .
13．若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为 .
14．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后所得的面积为 ；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．

15．不相同的数列与，且都不为常数数列，，给出下列个结论：
①若数列均为无穷等差数列且公差相等，则中可能恰有一个元素；
②若数列为递增数列，数列为递减数列，则中恰有一个元素；
③若数列为等差数列，为等比数列，则中至多有三个元素；
④若数列为公比不相等的等比数列，则中至多有两个元素.
其中所有错误结论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题）
16．在中，已知，.
(1)求证：是钝角；
(2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积.
①；②；③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.

(1)若点为线段的中点，求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）.
《哪吒之魔童降世》综合票房及占比
《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比
(1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率；
(2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望；
(3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）.
19．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
20．已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若在上存在零点，求实数的取值范围.
21．已知数集具有性质:对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由;
(2)求证：;
(3)若，求数集中所有元素的和的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，
或，
因此，.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由题，
所以.
故选C.
3．【答案】A
【详解】展开式中项为，所以展开式中项的系数为.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题意，
所以圆心O到直线的距离为，
故选C.
5．【答案】B
【详解】由于可以由函数的图象保持x轴上方部分不动，将x轴下方部分翻折到x轴上方而得到，故其周期为，
由于时，是单调减函数，故A不正确；
又时，是单调增函数，故B正确；
由于时，，令，解得，
则在上是单调减函数，故C不正确；
由于时，是单调减函数，故D不正确；
故选B．
6．【答案】D
【详解】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，
作，，则，如下图所示：
向量与向量的夹角等于，
由正弦定理可得，即，可得，
所以，，即，即，故.
故选D.
7．【答案】D
【详解】令，，则，不为递减数列；
反之，令，则，为递减数列，而，
所以“，且”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件.
故选D.
8．【答案】C
【详解】
如图，把几何体补全为长方体，则，
，
所以该包装盒的容积为，
故选C.
9．【答案】B
【详解】如图所示，

设，的中点为，
点在函数的图象上，且轴，则，
由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确；
则，即，
即，故③正确，④错误.
故选B.
10．【答案】D
【详解】对①, 定义域为,当时,
,故是偶函数,①正确
对②,因为为偶函数,故只需考虑时的情况即可.
画出与的函数图像如图.因为且当时成立,由图可得当时,恒成立.
故当时,.又为偶函数,故恒成立.
对③, 令则.
当时不成立,故③错误.
对④, 令,当时,
,当时,
先画出与的图像如图
注意当时,,此时,此时
当时,,,故
当时,.故当时,
当时,,且有根.
又对,,,,,
.故满足的正整数n的最小值为9.
故④正确.
故选D.
11．【答案】
【详解】在抛物线中，焦点在轴的负半轴上，且，则，，
因此，抛物线的焦点坐标是.
12．【答案】
【详解】由题意，画出图形，得，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当且仅当时等号成立，即的最小值为.
13．【答案】（答案不唯一）
【详解】对双曲线有，
故双曲线离心率为，
将代入双曲线方程得，
当时，有，此时直线为双曲线渐近线，不符合；
当时，因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，
所以方程即正根有且只有一个，
故（舍去）或，
故双曲线离心率.
故双曲线离心率的一个取值可以为.
14．【答案】 /
【详解】设的半径为，则，则第次裁剪操作得到的正方形边长为，
的半径为，即，故，
的面积为，故的面积为.
又第次裁剪操作的正方形边长为，在该正方形的圆半径为，
故第次裁剪操作裁剪掉的面积为
，所以第次裁剪操作裁剪掉的面积之和为.
15．【答案】①②④
【详解】①函数观点看数列，公差相等，则代表等差数列的两直线平行，所以无公共项，错误；
②举反例：，则中没有元素，错误；
③函数观点看数列，当且时，代表数列的两曲线至多有三个交点，如图：
所以中至多有三个元素；
④举反例：看数列取值规律，当两等比数列首项相等，公比相反时，有无数公共项，
比如数列和，故④错误.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，由正弦定理，可得.
又在中，，
所以，
所以， 即，
又、，所以，，所以B为钝角.
（2）选择①②，则，，，
由正弦定理得，则，故为直角，与题意矛盾；
选择①③，即，，.
由B为钝角，得.
由正弦定理，得，解得.
又为锐角，得，
所以.
所以的面积.
选择②③，即，，，
由正弦定理得，解得.
由，，及为钝角，为锐角，得，，
所以， 所以.
所以的面积.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，；
因为分别为的中点，
所以，．
因为四边形是平行四边形，G为线段的中点，
所以，，
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为
所以平面．

（2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
由题意可知：，又，所以，
因为平面，
所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以且，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，
则有，也即，令，则；
则有，也即，令，则，
则，
由图可知：二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
（3）因为
所以点到平面的距离.
18．【答案】(1)
(2)，，，
(3)<，
【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天，
所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为；
（2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天，
所以的取值有，所以的分布列为，
所以的分布列数学期望；
（3）因为，
，
又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以，
所以，.
19．【答案】(1)
(2)是，MN的中点为
【详解】（1）由题意得，，又，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，
因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在，
故设直线BC的方程为：，其中，
由得：，
，得；
+，，
又因为直线AB的方程:，得，
同理
由+=
=
=
故MN的中点为.
20．【答案】(1)
(2)单调递减区间为单调递增区间为
(3)
【详解】（1）当时，，，切点为，
，∴，∴切线方程为：
（2）当时，，
令，，令，得到，
∴时，，∴在单调递增，即在单调递增；
∴时，，∴在单调递减，即在单调递减；
∵，且时，恒成立，
∴变化时，的变化情况如下表：
0
极小值
∴的单调递减区间是，单调递增区间为，
（3），
∵时，，，∴，若，则恒成立，
∵在上存在零点，∴；
，由（2）可知在单调递增，在单调递减.
∴，∵，∴，
①若，即，时，
，，，，
∴，，∴在单调递增，∴，
∴无零点.
②若，即，时，
∵，使得，当时，，
∴变化时，的变化情况如下表：
0
极小值
∴在上单调递减，∴，∴在无零点.
，，
，单调递增，∴，∴
，，∴，∴
∴，∴在上存在零点.
综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为.
21．【答案】(1)数集不具有性质，数集具有性质，理由见解析
(2)证明见及解析
(3)
【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质.
∵，，，，∴数集具有性质．
（2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立，
又，，
∴，，
，，
∴，
即，，，，
累加得，
化简得．
（3）最小值为．
首先注意到，根据性质，得到，
所以数集的元素都是整数，
构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和．
假设数集，满足最小，
第一步：首先说明集合中至少有个元素：
由（）可知，，，，又，
∴，，，，， ∴．
第二步：证明，，
若，设，
∵，为了使最小，
在集合中一定不含有元素，使得，从而；
若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴，
此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾，
∴，且．
同理可证： ．
至此，我们得到，，
根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形：
①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则；
②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则；
③，，此时集合，；
④，，此时集合，．
综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是．