青海省海南州2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷（含详解）

青海省海南州2024 2025学年高三下学期3月联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A． B．6 C．3 D．
7．已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种 B．180种 C．192种 D．168种
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．为奇函数 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．在上恰有50个零点
11．定义：曲线的方程为（是常数）．若点在曲线上，是坐标原点，，则（ ）
A．当时，的最小值为 B．当时，的最小值为
C．当时，的最大值为 D．当时，的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为 ．
13．已知，则 .
14．已知定义在上的偶函数满足，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16．已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4.
(1)求的方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积.
17．如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内.
(1)已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率；
(2)若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望.
19．若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数.
(1)试问是否为函数？说明你的理由.
(2)若为函数，求的取值范围.
(3)若为函数，证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题知，，
又，所以.
故选A．
2．【答案】A
【详解】由条件可得，
两边平方得，
解得，
故选A．
3．【答案】B
【详解】的前100项和为：
.
故选B．
4．【答案】B
【详解】由，
可得：，
故选B．
5．【答案】C
【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，
如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，
结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，
且，故，
即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，
故第二个正四棱台的体积为.
故选C.
6．【答案】C
【详解】点P在双曲线右支上，
由双曲线的定义可得，
又，两式联立得.
又，
所以，即为直角三角形，
所以.
故选C．
7．【答案】D
【详解】因为为常数，，
则，当且仅当，即时，等号成立，
且的最小值为6，所以，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
故选D.
8．【答案】D
【详解】先对3，4，5染色，有种方法，
若2和3同色，则不同的染色方法有种，
若2和3不同色，则不同的染色方法有种，
综上，不同的染色方法有种．
故选D.
9．【答案】BD
【详解】，则，
所以有两个极值点，，且．
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，得到函数的图象.
对A：，函数定义域为，又，
故为奇函数，A正确；
对B：，故关于对称，B正确；
对C：当时，，则在单调递增，C错误；
对D： ，当时，则，
故只需考虑，在上的零点个数，
又，结合正弦函数的图象，可知在上共有个零点，D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】当时，，即，即或，
所以0曲线表示两个圆，圆心为和，半径都为1，，且，则的最大值为，最小值为，B，D均正确．
当时，，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是1，A错误．
，则，解得，所以，则，，C错误．
故选BD．
12．【答案】
21.55%
【详解】将这组数据从小到大排列为：10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%，因为，
所以这组数据的75%分位数为．
13．【答案】
【详解】由题意得，
.
14．【答案】
【详解】∵函数为偶函数，∴.
∵时，，
∴当时，，，
∴当时，，，
∵对数函数在上为增函数，
∴，即，
∴.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，，所以，
所以，
所以，所以，
因为是锐角三角形，所以；
（2）由正弦定理，已知，
则，
因为是锐角三角形，所以，
所以，
所以.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为抛物线：的焦点，所以，即，
又的短轴长为，所以，则，故；
（2）依题意有，联立，整理得，

设，，显然，则，，
所以，
设线段的中点为，则，，
故线段的中垂线为，令，得，故，
所以到直线的距离为，
所以的面积.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由平面，平面，则，
又，，易得四边形是矩形.
连接，则为的中点，为的中点，
所以为的中位线，即.
因为平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为为的中点，，所以.
因为，，所以四边形为矩形，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
设，由题意得，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则，取.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
【详解】（1）若甲次答题累积得分不低于分，则甲抽取的个题目的分值可以是、、，
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个题要全答对，所以，概率为；
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为；
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为.
故甲次答题累积得分不低于分的概率为.
（2）的所有可能取值为：、、、、、、，
，，
，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
19．【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）令，其中，
因为、在上为增函数，故函数在上为增函数，
所以，，
所以，函数是函数.
（2）因为，则，
，
设，
因为函数为函数，则对任意的，，即，
因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，则函数在区间上为增函数，
只需，解得，此时，；
当时，即当时，只需，解得，舍去，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）令，
，
已知函数为函数，即满足：，
所以，
因此，在上严格递增，
又因为，所以：，
即：，
所以.