第五章 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
5.4.2 正弦函数、
余弦函数的性质
第五章 三角函数
数学
学习目标
①了解周期函数、周期、最小正周期的含义.
②掌握=sin (∈R)，=cos (∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.
③会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间及最值.
学习重难点
重点：
=sin (∈R)，=cos (∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.
难点：
会求函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)及y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的周期、单调区间及最值.
课堂导入
问题
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质 观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质
单调性、奇偶性、最大(小)值等.
“周而复始”现象.
三角函数图象：横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点.
诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)：自变量的值增加2π的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.
数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
探究一　周期性
课堂探究
函数的周期
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数. __________叫做这个函数的周期.
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
注意：周期函数的周期不止一个.
例如，2π，4π，6π，…以及2π，4π，6π，…都是正弦函数的周期.
事实上， ∈Z且≠0，常数2π都是它的周期.
课堂探究
函数的最小正周期
如果在周期函数()的所有周期中存在一个___________，那么这个最小正数叫做()的___________.
最小的正数
最小正周期
正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(＋2kπ)＝_______，cos(＋2kπ)＝_______(k∈Z)知，＝sin 与＝cos 都是______函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是_______.
sin x
cos x
周期
2π
探究一　周期性
课堂探究
例1　求下列函数的周期：
(1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R.
分析 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x+T)=f(x)而求出相应的周期.
对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x+T)=cos 2x，x∈R；
对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin[(x+T)]=sin(x)， x∈R.
课堂探究
解 (1) x∈R，有3sin(x+2π)=3sin x.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.
(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos z的周期为2π，
即cos(z+2π)=cos z，于是cos(2x+2π)=cos 2x，
所以cos 2(x+π)=cos 2x，x∈R.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
例1　求下列函数的周期：
(1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R.
课堂探究
(3)令z=x ，由x∈R得z∈R，且y=2sin z的周期为2π，
即2sin(z+2π)=2sin z，
于是2sin(x +2π)=2sin(x )，
所以2sin[(x+4π) ]=2sin(x ).
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
由以上的解答过程，探究：这些函数的周期与解析式中哪些量有关
例1　求下列函数的周期：
(1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R.
课堂探究
归纳新知
求三角函数周期的方法
定义法：即利用周期函数的定义求解.
公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=.
图象法：即通过观察函数图象求其周期.
探究二　奇偶性
课堂探究
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到：
正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称.
这个事实，也可由诱导公式sin(x)=sin x，cos(x)=cos x得到.
所以正弦函数是___________ ，余弦函数是___________.
思考：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助
奇函数
偶函数
课堂探究
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)对于＝sin ，∈R，恒有sin( )＝ sin ，所以正弦函数＝sin 是_____函数，正弦曲线关于_____对称.
(2)对于＝cos ，∈R，恒有cos( )＝cos ，所以余弦函数＝cos 是_____函数，余弦曲线关于_____对称.
奇
原点
偶
y轴
归纳新知
课堂探究
(1)函数 f(x)=sin 2x 的奇偶性为(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 ∵f(x)的定义域是R，且f( x)=sin 2( x)= sin 2x= f(x)，
∴函数是奇函数.
【做一做】
A
课堂探究
(2) 判断函数f(x)=sin(x+)的奇偶性.
解析 ∵()=sin(+)=cos，
∴()=cos()=cos，
∴函数()=sin(+)是偶函数.
【做一做】
课堂探究
类题通法
判断函数的奇偶性
必须先检查定义域是否关于原点对称.
如果是，再看f(x)与f( x)的关系，进而判断函数的奇偶性.
如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.
判断三角函数的奇偶性
有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
探究三　单调性
课堂探究
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如[])上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
当x由增大到时，曲线逐渐上升，
sin x的值由1增大到1；
当x由增大到时，曲线逐渐下降，
sin x的值由1减小到1.
图①
1
1
x
π
y
探究三　单调性
课堂探究
sin x的值的变化情况如下表所示.
x ↗ 0 ↗ ↗ π ↗
sin x 1 0 1 0 1
正弦函数y=sin x在区间[ ]上单调递____，在区间[]上单调递____.
↗
↘
↗
↘
增
减
1
1
x
π
y
探究三　单调性
课堂探究
由正弦函数的周期性可得，
正弦函数在每一个闭区间_____________________(k∈Z)上都单调递增，
其值从 1 增大到 1；
正弦函数在每一个闭区间_____________________(k∈Z)上都单调递减，
其值从 1 减小到 1.
[ +2kπ，+2kπ]
[+2kπ，+2kπ]
类似地，观察余弦函数在一个周期区间(如[ π，π])上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表.
探究三　单调性
课堂探究
x π ↗ ↗ 0 ↗ ↗ π
cos x 1 0 1 0 1
↗
↗
↘
↘
由此可得，余弦函数y=cos x，x∈[ π，π]，
在区间_________上单调递增，其值从 1增大到1；
在区间_________上单调递减，其值从1减小到 1.
[ π，0]
[0，π]
x
π
π
y
探究三　单调性
课堂探究
由余弦函数的周期性可得，
余弦函数在每一个闭区间_____________________上都单调递增，
其值从 1增大到1；
余弦函数在每一个闭区间_____________________上都单调递减，
其值从1减小到 1.
[(2k 1)π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)
课堂探究
正弦、余弦函数的单调性
归纳新知
函数 单调递增区间 单调递减区间
y=sin x
y=cos x
[ +2kπ，+2kπ](k∈Z)
[+2kπ，+2kπ](k∈Z)
[(2k 1)π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)
正弦函数
当且仅当 x=__________________时取得最大值1，
当且仅当 x=__________________时取得最小值 1；
余弦函数
当且仅当 x=__________________时取得最大值1，
当且仅当 x=__________________时取得最小值 1.
探究四　最大值与最小值
课堂探究
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
2kπ+(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
2(k+1)π(k∈Z)
课堂探究
①正弦、余弦函数图象上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.
②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.
③正弦函数和余弦函数的图象既是轴对称图形也是中心对称图形.
知识拓展
课堂探究
例2　下列函数有最大值、最小值吗 如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
(1)y=cos x+1，x∈R； (2)y= 3sin 2x，x∈R.
解 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数y=cos x+1，x∈R取得最大值的x的集合，
就是使函数y=cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函数y=cos x+1，x∈R取得最小值的x的集合，
就是使函数y=cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函数y=cos x+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是1+1=0.
课堂探究
(2)令z=2x，使函数y= 3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，
就是使y=sin z，z∈R取得最小值的z的集合{z|z= +2kπ，k∈Z}.
由2x=z= +2kπ(k∈Z)，得x= +kπ(k∈Z).
所以，使函数y= 3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x= +kπ，k∈Z}.
同理，使函数y= 3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ，k∈Z}.
函数y= 3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是 3.
例2　下列函数有最大值、最小值吗 如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
(1)y=cos x+1，x∈R； (2)y= 3sin 2x，x∈R.
课堂探究
例3　不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) ； (2) cos； cos.
分析 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.
为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，
然后再比较大小.
课堂探究
例3　不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) ； (2) cos； cos.
解 (1)因为 < < <0， 正弦函数y=sin x在区间[ ，0]上单调递增，
所以sin( )>sin( ).
(2)cos( )=cos=cos，cos( )=cos=cos
因为0<<π，且函数y=cos x在区间[0，π]上单调递减，
所以cos>cos，即cos( )>cos( ).
课堂探究
解 令z=x+，x∈[ 2π，2π]，则z∈[ ].
因为y=sin z，z∈[ ]的单调递增区间是[ ，
且由 x+，得 ≤x≤
所以，函数y=sin(x+)，x∈[ 2π，2π]的单调递增区间是[ ].
例4　求函数y=sin(x+)，x∈[ 2π，2π]的单调递增区间.
函数 y=sin x y=cos x
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
课堂探究
正弦函数和余弦函数的性质对比
R
R
[1，1]
[1，1]
最小正周期为2π
最小正周期为2π
1
1
x
π
π
y
1
1
x
π
y
奇函数
偶函数
课堂探究
正弦函数和余弦函数的性质对比
函数 y=sin x y=cos x
单调性 在每一个闭区间 上都单调递增， 在每一个闭区间 上都单调递减 在每一个闭区间 上都单调递增；
在每一个闭区间 上都单调递减
最值 当x= 时取得最大值1， 当x= 时取得最小值 1 当x= 时取得最大值1，
当x= 时取得最小值 1
对称性 对称中心为 ； 对称轴为直线 x= . 对称中心为 ；
对称轴为直线 x= .
[ +2kπ，+2kπ] (k∈Z)
[+2kπ，+2kπ] (k∈Z)
[(2k 1)π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)
2kπ+(k∈Z)
2kπ (k∈Z)
2kπ(k∈Z)
(2k+1)π(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z)
+kπ(k∈Z)
(+kπ，0)(k∈Z)
kπ(k∈Z)
评价反馈
解析 (1)举反例，sin(40°+60°)≠sin 40°，
所以60°不是正弦函数y=sin x的一个周期.
(2)根据周期函数的定义知，该说法正确.
(3)因为定义域不关于原点对称.
√
1. 判断(正确的画“√”，错误的画“×”).
(1)若sin(60°+60°)=sin 60°，则60°为正弦函数=sin的一个周期. (　　)
(2)若是函数()的周期，则kT(k∈N*)也是函数()的周期. (　　)
(3)函数=sin ，x∈(π，π]是奇函数. (　　)
×
×
评价反馈
解析 因为sin[(x+4π)]=sin[(x)+2π]=sin(x)，
即f(x+4π)=f(x)，
所以函数f(x)的最小正周期为4π.
2. 函数f(x)=sin()，x∈R的最小正周期为 (　　)
A. B.π
C.2π D.4π
D
评价反馈
解析 令x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，得x∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，
令k=0，得区间[]是函数f(x)的一个单调递减区间，
而[] [].故选D.
3. 函数f(x)=sin(x+)的一个单调递减区间是 (　　)
A.[] B.[π，0]
C.[] D.[]
D
评价反馈
解 (1)因为90°<150°<170°<180°，
且当90°≤x≤180°时，函数y=cos x单调递减，所以cos 150°>cos 170°.
(2)sin()=sin(2π+)=sin=sin(π)=sin.
因为0<，函数y=sin x在区间[0，]上单调递增，
所以sin4. 比较下列各组数的大小：
(1)cos 150°与cos 170°； (2)sin与sin().
课堂小结
1.正弦、余弦函数的周期性、奇偶性和单调性.
2.求函数的单调区间：
(1)直接利用相关性质.
(2)复合函数的单调性.
(3)利用图象寻找单调区间.
知识归纳
布置作业
完成教材第207页练习，第213~214页习题5.4第2，3，4，5，6，10，11题.
谢谢大家