第二章 一元二次函数、方程和不等式 本章小结--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
本章小结
第二章　一元二次函数、方程和不等式
数学
学习目标
①学会用比较法比较两个实数(式)的大小．
②学会用不等式的基本性质解决有关问题．
③学会用不等式的证明方法证明不等式．
④学会用基本不等式比较大小、证明不等式、解决最值问题．
⑤借助三个“二次”的关系,学会求解不含参数或含参数的一元二次不等式以及分式不等式,并学会利用一元二次不等式解决一些实际应用问题、不等式恒成立问题以及由不等式的解集求参数．
学习重难点
重点：
比较两个实数(式)的大小,不等式的基本性质的应用,利用基本不等式求最值,三个“二次”之间的关系．
难点：
比较实数大小的变形方式,根据题目抽象出不等式的基本性质并运用,用基本不等式求最值的处理方式,三个“二次”之间的正确转化以及分类讨论解含参数的一元二次不等式．
课堂导入
知识回顾
解析 由,可得,所以．故选．
1. 若<0 ,则下列不等式不正确的是(　　)
A. B. >0 C. D.
D
课堂导入
解析 由题意知,,．
由根与系数的关系可知,,故．
2.如果不等式的解集为,不等式的解集为,不等式的解集为,那么等于(　　)
A. B. C. D.
A
课堂导入
解析 依题意,,所以,解得．
3.若不等式的解集为,则实数的取值范围是(　　)
A
B
C
D
D
课堂导入
解析 因为,所以+≥+2,当且仅当且,,,即时,等号成立．
4.(多选题)若,,,则(　　)
A.取得最值时 B.最大值是5
C.取得最值时 D.最小值是
AD
课堂导入
性质1对称性： ．
性质2传递性：, ．
性质3可加性： ．
性质4可乘性： , ．
性质5同向可加性： ．
性质6同向同正可乘性： ．
性质7可乘方性： (,)．
性质8可开方性： (,)．
课堂探究
考点一　不等式基本性质的综合应用
课堂探究
考点一　不等式基本性质的综合应用
【例题1】
对于任意实数,,,,下列命题是假命题的是(　　)
A.若,则
B.若,,则
C.若,则
D.若, ,则,
C
课堂探究
考点一　不等式基本性质的综合应用
解析 对于A,若,则 ,所以,A为真命题；
对于B,若,,则≥0,化为,可得,B为真命题；
对于C,若,所以,,则<0 ,故,C为假命题；
对于D,若,,则>0,所以,所以,,D为真命题．
课堂探究
归纳总结
综合应用不等式的基本性质时,首先要根据不等式的特点,抽象出要应用的不等式的性质,然后分辨不等式性质应用的正确与否,对于难以抽象或抽象复杂的不等式,可以通过比较法来作差进行判断．
考点一　不等式基本性质的综合应用
【跟踪训练1】
(多选题)已知∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.若,则
B.若,则
C.若,,则
D.若,则
BCD
课堂探究
考点一　不等式基本性质的综合应用
【跟踪训练1】
课堂探究
解析 选项A,∵,∴在这个不等式的两边同乘,可得,错误；
选项B,∵,∴ >,∴ a>b,正确；
选项C,∵,∴ <0 ,即>>0 ,且,故>>0 ,
即,正确；
选项D,∵ ,且,∴,,,故>0 ,即,正确．
考点一　不等式基本性质的综合应用
课堂探究
考点二　比较数或式的大小
比较数(式)的大小
(1)依据：
； ； ．
(2)适用范围：
数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式．
(3)作差法的变形技巧：
①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．
课堂探究
【例题2】
解析 ① ,当,时不等式不成立；
② ,当,时不等式不成立；
③ 恒成立；
④当,时, ,故④式不恒成立．
若,且,有下列式子：①,②,③,④,则恒成立式子的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
A
考点二　比较数或式的大小
课堂探究
归纳总结
两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比,作商和1比(分母不为0),或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系．
考点二　比较数或式的大小
【跟踪训练2】
已知,,试比较与 的值的大小．
课堂探究
解 由．
当时,,所以>0 ,即；
当时,,所以<0 ,即；
当时,,所以=0 ,即．
考点二　比较数或式的大小
课堂探究
考点三　证明不等式
利用基本不等式证明不等式
(1)利用基本不等式证明不等式的实质就是从已知的不等式入手,借助不等式的性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证结论,其特征是“由因导果”．
(2)证明不等式时要注意灵活变形,多次使用基本不等式时必须保证等号同时成立．
已知,均为正实数,求证： ．
课堂探究
【例题3】
证明 (方法1)因为,均为正实数,所以由基本不等式可得≥2,当且仅当时,等号成立．
两式相加,得≥22,所以,当且仅当时,等号成立．
考点三　证明不等式
(方法2) ()()(≥0 ,所以．
课堂探究
归纳总结
不等式证明的一般方法有：
(1)比较法,其思路是借助作差或作商,条件满足的话也可借助基本不等式证明；
(2)分析法,适用于已知条件较弱的不等式证明,其思路是由果索因；
(3)综合法,适用于已知条件较强的不等式,其思路是由因导果；
(4)反证法,其思路是通过反设结论推出矛盾．
考点三　证明不等式
【跟踪训练3】
(1)用分析法证明当时, ；
(2)已知,,,用反证法证明,中至少有一个不小于0．
课堂探究
证明 (1)要证,即证2,
只要证()<(2) ,即证,
即证 ,只要证,此式显然成立,
所以成立．
考点三　证明不等式
【跟踪训练3】
课堂探究
注意：第(1)问的解题关键在于把证明条件进行转化,即要证成立,转化为只需证>2成立,只有这样才能利用不等式性质进行求解．
考点三　证明不等式
(1)用分析法证明当时, ；
(2)已知,,,用反证法证明,中至少有一个不小于0．
课堂探究
证明 (2)假设,且．
由,得,由,得,
这与矛盾,所以假设错误,
所以,中至少有一个不小于0．
考点三　证明不等式
【跟踪训练3】
(1)用分析法证明当时, ；
(2)已知,,,用反证法证明,中至少有一个不小于0．
课堂探究
考点四　基本不等式的应用
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围,既适用于一个变量的情况,也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的目的在于使等号能够成立．
课堂探究
【例题4】
解析 因为正实数,满足=1 ,所以) ,当且仅当,且=1 ,即,时,等号成立,所以．因为存在,使不等式有解,所以 ,解得,或,所以实数的取值范围是．
若两个正实数,满足=1 ,且存在这样的,使不等式有解,则实数的取值范围是(　　)
A B
C D
C
考点四　基本不等式的应用
课堂探究
归纳总结
1.利用基本不等式求最值时,要保证“一正,二定,三相等”,对于不满足的问题要通过变形或利用其他方法求解．
2.利用基本不等式解决不等式恒成立或有解问题时,往往需要使用分离参数法将参数分离出来,将“恒成立问题”“有解问题”转化为“最值问题”求解．
即恒成立 ；
恒成立 ．
有解 ；
有解 ．
考点四　基本不等式的应用
【跟踪训练4】
(1) 设,若,则的最小值为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
课堂探究
解析 因为,,所以,,所以,
所以()[(a2)(b1)]=55+29,
当且仅当,且,即, 时,等号成立．
C
考点四　基本不等式的应用
【跟踪训练4】
(2)已知,,若不等式≤0恒成立,则实数的最大值为 ．
课堂探究
解析 ∵, ,, ∴．
∵,
当且仅当时等号成立, ∴
16
考点四　基本不等式的应用
课堂探究
考点五　一元二次不等式的解法
当时,解形如()或的一元二次不等式的般步骤如下：
(1)确定对应方程的解；
(2)画出对应函数的图象的简图；
(3)由图象写出不等式的解集．
特别提醒：
(1)在通过图象获取解集时,注意不等式中的不等号方向及时的特殊情况；
(2)当时,解不等式可以从两个方面入手：
①画出对应图象直接判定(此时图象开口向下)；
②两边同乘以1,把转变为再进行求解．
课堂探究
解 (1)当时,,不等式即,即,故所求不等式的解集为．
【例题5】
已知．
(1)当时,求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为,求实数的取值范围．
考点五　一元二次不等式的解法
课堂探究
【例题5】
解 (2)由题意得的解集为．
当时,该不等式的解集为,不符合题意,舍去；
当时,根据二次函数图象特征知,
解得．
综上所述,实数的取值范围是．
已知．
(1)当时,求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为,求实数的取值范围．
考点五　一元二次不等式的解法
课堂探究
归纳总结
解一元二次不等式时,要注意数形结合,充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果求解的不等式含有参数,则需按一定的标准对参数进行分类讨论,例如对于不等式类型不确定的不等式,要讨论不等式的二次项系数是否为零,根的大小不确定的要对根的大小进行讨论,等等．
考点五　一元二次不等式的解法
【跟踪训练5】
已知二次函数．
(1)若关于的不等式的解集是,求实数,的值；
(2)若,,解关于的不等式．
课堂探究
解 (1)因为关于的不等式的解集是,
所以,1和3是方程的两根,
所以解得
考点五　一元二次不等式的解法
课堂探究
解 (2)当时,,即,可化为．因为,所以,所以方程的两根为和．
当,即时,所求不等式的解集为；
当,即时,所求不等式的解集为；
当,即时,所求不等式的解集为．
综上所述,当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为．
考点五　一元二次不等式的解法
【跟踪训练5】
课堂探究
考点六　不等式的实际应用
不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用,主要有范围问题、最值问题等,而解不等式的应用问题的关键在于构造不等式模型,解题的一般步骤如下：
(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义,用数学语言来描述问题；
(2)简化假设：精选问题中的关键变量；
(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式；
(4)求解：运用数学知识解相应不等式；
(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况,然后给 出问题的答案．
课堂探究
【例题6】
解析 设花卉带宽度为(),则中间草坪的长为() ,宽为() ,根据题意可得,整理得,即,解得或．又因为,所以,故的取值范围为．
如图所示,某学校要在长为8,宽为6的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,均为,中间为草坪．为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则的取值范围为 ．
考点六　不等式的实际应用
课堂探究
归纳总结
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的一种学科核心素养．其过程包括：在实际情境中从数学视角发现、提出问题、分析问题、建立模型,确定参数后计算求解,检验结果并改进模型以解决实际问题．数学模型是数学与外部世界联系的桥梁及应用的重要形式,数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段和推动数学发展的动力．本章常用基本不等式或一元二次不等式模型解决实际应用问题．
考点六　不等式的实际应用
【跟踪训练6】
一辆运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶120千米,按交通法规限制,假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油()升,司机的工资是每小时50元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值．
课堂探究
解 (1)设所用时间为,则,．
考点六　不等式的实际应用
课堂探究
解 (2) y=+2x≥8,当且仅当,即(满足)时等号成立．
故当时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元．
考点六　不等式的实际应用
【跟踪训练6】
一辆运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶120千米,按交通法规限制,假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油( )升,司机的工资是每小时50元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值．
课堂小结
问题思考
基础知识归纳
1.比较实数大小的基本事实；
2.不等式的基本性质；
3.基本不等式；
4.一元二次不等式．
思想方法总结：转化与化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、“1”的代换、比较法、综合法、分析法、反证法．
布置作业
认真整理本节所讲,梳理知识脉络,完成学案．
谢谢大家