第四章 4.3.1对数的概念--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
4.3.1　对数的概念
第四章　指数函数与对数函数
数学
学习目标
①正确理解对数的概念．
②熟记常用对数、自然对数的特点、形式和符号．
③逐步熟悉对数式与指数式的互相转化．
学习重难点
重点：
　　对数的概念、指数式与对数式的互化．
难点：
由于对数符号是直接引入的,带有“规定”的性质,且这种符号比较抽象,不易为学生接受,因此,对对数符号的认识会成为教学中的难点．
课堂导入
知识链接
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier,1550~1617年)．他发明了供天文计算作参考的对数,并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》,公布了他的发明．恩格斯把对数的发明、解析几何的创始与微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．
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问题
在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从中求出经过年后地景区的游客人次为2001年的倍数．反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,······,那么该如何解决
解析 列出表达式：2=1.11x,3=1.11x,4=1.11x,······
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问题1
假设2024年我国国民经济生产总值为亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2024年的多少倍
解析
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问题2
假设2024年我国国民经济生产总值为亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2024年的2倍
解析

此时问题就转化为已知底数和幂的值,求指数的问题．
课堂探究
探究一　对数的概念
对数
一般地,如果　　 　 　　,那么数x叫做 　　　　　　　,记作　　　　　,其中a叫做对数的底数,叫做　　　　　．
ax=(a>0,且a≠1)
以a为底的对数
x=loga
真数
例如,因为42=16,那么2就是以4为底16的对数,记作=2；
因为34=81,所以4就是以3为底81的对数,记作=4．
课堂探究
探究一　对数的概念
为什么规定,且
(1)如果 ,则会出现N为某些数值时, loga N不存在的情况,比如,假设存在,设=,则 =,无解．
(2)如果 ,且, 则loga N不存在；若=0,且,则, log00有无数个值,不能确定．为此,规定．
(3)如果 ,且 ,则loga N不存在；若 ,且 ,则log11有无数个值,不能确定,为了避免loga N不存在或者不唯一确定的情况,规定,且．
课堂探究
探究一　对数的概念
两种特殊对数
通常,我们把以10为底的对数叫做常用对数,并且赋予它特殊的数学符号,
即 ：
log10N=lg N．
另外,在科技、经济、社会中经常使用以无理数=2.71828···为底数的对数,以为底的对数叫做自然对数,也有它特殊的符号,即：
loge =ln ．
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探究一　对数的概念
指数式和对数式的关系
指数式ab＝N与对数式loga N＝b中,a,b,N三者间的关系实质如下(a>0且a≠1)：
项目 式子 a b N 意　义
指数式 ab＝N 底数 指数 幂 a的b次幂等于N
对数式 loga N＝b 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于b
课堂探究
【例题1】
将下列指数式与对数式互化：
(1)2 2=； (2)102=100； (3)ea=16；
(4)6； (5)log3 9=2； (6)logx y=z(x>0,且x≠1,y>0)．
解析 (1)log2=2； (2)log10100=2,即lg 100=2；
(3)loge 16=a,即ln 16=a； (4)log64 =；
(5)32=9； (6)xz=y．
课堂探究
归纳新知
1.指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式．
指数
对数
底数
真数
幂
课堂探究
归纳新知
2.指数式与对数式互化时应注意的问题
并非任意式子ab=N都可以直接化为对数式,如(3)2=9就不能直接写成log 3 9=2,只有当a>0,且a≠1时,才有ab=N b=loga N．
课堂探究
【跟踪训练1】
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式：
(1)3 2=；　　 (2)( 2=16；　　 (3)lo 27=3；　　 (4)lo 64=6．
解 (1)log3 =2；(2)lo16=2；(3)() 3=27；(4)() 6=64．
课堂探究
【例题2】
求下列各式中x的值：
(1)log64 x= ；　　(2)logx 8=6；　　 (3)lg 100=x；　　 (4) ln e2=x．
规律方法
要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解．
解 (1)因为log64 x= ,所以x=6=(43=4 2=．
(2)因为logx 8=6,所以x6=8．
又x>0,所以x==(23
(3)因为lg 100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2．
(4)因为ln e2=x,所以x=ln e2,即e x=e2,所以x=2．
课堂探究
【跟踪训练2】
求下列各式中x的值：
(1)log27 x= ； (2)log5 x2=2．
解 (1)∵log27 x=,
∴x=2=(33=3 2=．
(2)由log5 x2=2,得x2=52,∴x=5．
∵52=25>0,(5)2=25>0,∴x=5,或x=5．
课堂探究
【思考】
(1)对数的概念中,真数N需满足什么条件 为什么
提示：真数N需满足N>0．由对数的定义：ax=N(a>0,且a≠1),则总有N>0,所以转化为对数式x=loga N时,不存在N≤0的情况．
(2)对数的概念中,如果N=1,x的值是多少 N=a时呢
提示：x=0,x=1．
(3)如果将对数式x=logaN代入到指数式ax=N中会得到哪个式子
提示：=N．
课堂探究
探究二　对数的性质
1.零和负数没有对数．
由 loga N =x,得N = ax．当a>0,且a≠1时,ax >0,所以N >0,即负数和0没有对数．
2.1的对数为零,即loga1=0．
3.底数的对数为1,即logaa=1．
设loga 1 =x,a >0,且a≠1,则 ax=a0,即loga 1= 0．
设loga a=x,a >0,且a≠1,则ax=a,即loga a=1．
4.对数恒等式：=N．
课堂探究
【例题3】
(1)若对数log(x 1)(2x3)有意义,则x的取值范围是 　　 　．
(,2)∪(2,+∞)
解析 (1)由得得x>,且x≠2．
所以x的取值范围是(,2)∪(2,+∞)．
课堂探究
【例题3】
(2)求下列各式中x的值：
①log2 (log5 x)=0；　　②log3 (lg x)=1；　　③x=．
解析 ①∵log2 (log5 x)=0,∴log5 x=20=1,∴x=51=5．
②∵log3 (lg x)=1,
∴lg x=31=3,∴x=103=1000．
③x==7÷=7÷5=．
课堂探究
归纳总结
规律方法　
1.底数a>0,且a≠1；真数N的取值范围是(0,+∞)．
2.利用对数的基本性质解题时,从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题．
logaN=0 N=1；logaN=1 N=a使用频繁,应在理解的基础上牢记．
3.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式：=N,loga aN=N．
【跟踪训练3】
(1)设=25,则x的值等于(　　)
A.10 B.13
C.100 D.±100
(2)若log3 (lg x)=0,则x的值等于　　　　　．
B
10
解析 (1)由=25,得2x1=25,所以x=13,故选B．
(2)由log3 (lg x)=0,得lg x=1,所以x=10．
课堂探究
1. 在b=log3 (m 1)中,实数m的取值范围是(　　)
评价反馈
D
A.R B.(0,+∞)
C.(∞,1) D.(1,+∞)
解析 由m1>0得m>1,故选D．
2. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
评价反馈
C
A.100=1与lg 1=0
B.2与log27 =
C.log3 9=2与=3
D.log5 5=1与51=5
解析 C不正确,由log3 9=2可得32=9．
3. 若log2 (logx 9)=1,则x=　　　　　．
评价反馈
3
解析 由log2 (logx 9)=1可知logx 9=2,即x2=9,∴x=3(x=3舍去)．
4. log3 3+=　　　　　．
评价反馈
3
解析 log3 3+=1+2=3．
评价反馈
5. 求下列各式中x的值：
(1)logx 27=；　　(2)log2 x=；　　(3)x=log27 ；　　(4)x=lo 16．
解 (1)由logx 27=,可得=27,则x=2=(33=32=9．
(2)由log2 x=,可得x=,则x=(．
(3)由x=log27 ,可得27x=,即=3 2,则x=．
(4)由x=lo16,可得(x=16,即2 x=24,则x=4．
课堂小结
布置作业
完成教材第123页练习第1,2,3题；第126~127页习题4.3第1题,第2题(1)．
谢谢大家