第四章 数学建模 建立函数模型解决实际问题--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
数学建模　建立函数模型解决实际问题
第四章 指数函数与对数函数
数学
学习目标
①通过参与数学建模的全过程，了解数学建模的概念，掌握数学建模的基本过程.
②在探究数学建模的过程中，进一步体会函数模型在现实生活中的应用，感受数学的应用价值.
③体会课题研究的过程，感受课题研究的意义，提升数学建模核心素养.
学习重难点
重点：
将实际问题转化为数学问题，数据的收集与函数模型的选择和建立．
难点：
数据的收集，函数模型的选择．
课堂导入
复习回顾
通过前期对函数应用相关知识的学习，我们知道,用函数构建数学模型解决实际问题的步骤如下：
本节课我们一起经历建立数学模型解决实际问题的全过程，一起感受数学与我们生活的紧密联系.
课堂探究
探究一 数学建模活动的一个实例
1. 实际情境
我国是茶的故乡，是世界上最早发现茶树、利用茶叶和栽培茶叶的国家，也是茶文化的发源地．中国茶道的主要内容讲究五境之美，即茶叶、茶水、火候、茶具、环境，其中茶叶可分为绿茶、红茶、乌龙茶、白茶、黄茶和黑茶.
茶文化的内涵其实就是中国文化的一种具体表现.中国素有礼仪之邦之称谓，茶文化的精神内涵即是通过沏茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯.
课堂探究
相关因素可能包含有茶叶类型、水温、茶具、泡茶用水、冲泡方法、茶叶用量、冲泡次数等.
2. 提出问题
思考1：影响茶水口感的因素有哪些
茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料．那你知道如何才能泡制一杯口感最佳的茶水吗
课堂探究
思考2：如何处理这些影响因素呢
将水温作为主要因素，收集水温随时间变化的数据，为了减少次要因素对结果的影响，在实验过程中
(1)选择同一种且等量的茶叶冲泡；
(2)使用同一个茶具，比如同一个玻璃杯;
(3)固定初始泡茶的水温为85 ℃;
(4)在同一环境温度25 ℃下,使用相同纯净水,并用相同的泡茶方法等.
突出主要因素，弱化次要因素
课堂探究
茶水降温的过程中也伴随着时间的变化，
因此我们可以建立茶水温度随时间变化的函数模型,将该茶水温度的实测过程转变为时间估计的问题,使得不用时刻测试水温,进而根据函数模型,通过简单计算就可以知道大约需要放置多长时间才能达到特定温度.
思考3：如何刻画茶水降温的过程
课堂探究
3. 转化问题
经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感
课堂探究
活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实验流程.
用85℃的纯净水泡好一杯茶， 每隔1分钟测量一次茶水温度，并进行记录.
思考1：该实验过程需要用到哪些测量工具
秒表和温度计.
4. 收集数据
可多次重复实验，取平均值从而减小误差.
思考2：怎样保证测量数据的准确性以减少误差
课堂探究
某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到一组数据如下.
5. 分析数据
随着时间的变化，茶水的温度也在发生变化，这两个变量之间存在着某种函数关系，但并没有现成的函数模型，所以我们可以借助数据的趋势进行分析.
表 1
时间/min 0 1 2 3 4 5
温度/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10
课堂探究
设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，根据上表，画散点图如图所示.
思考1：观察散点图，两个变量有怎样的变化趋势
思考2：当时间不断延长，最终茶水能降到什么温度
5. 分析数据
思考3：能否找到符合趋势的函数模型
观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y=kax+25(k∈R，0课堂探究
根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60.
思考1：如何利用以上实验数据求解函数模型中的参数 k
得到函数模型：，
即
6. 建立模型
课堂探究
6. 建立模型
为了求出温度的衰减比例 a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y 25)的值与上一分(y 25)值的比值，如表2.
x 0 1 2 3 4 5
60.00 54.19 48.75 46.19 43.19 40.10
比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5
表 2
思考2：如何利用以上实验数据求解函数模型中的参数 a
课堂探究
结合这五个函数图象与实际数据的吻合情况，应该如何选取的值
6. 建立模型
课堂探究
比较五个函数的吻合程度，与实际数据更加吻合的是当比值为0.918 1时，
因此可以选择函数作为本题的模型.
追问：为使与每个测量点更加吻合，是不是还有更理想的值
6. 建立模型
计算各比值的平均值，得
a=×(0.903 2+0.918 1+0.928 4+0.935 1+0.928 5)=0.922 7.
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
y=60×0.922 7x+25(x≥0).
课堂探究
不难发现，采用平均值作为衰减比例与实际数据更加的吻合，
因此最终选取的函数模型为y=60×0.922 7x+25(x≥0).
7. 检验模型
将已知数据代入y=60×0.922 7x+25(x≥0)，或画出函数y=60×0.922 7x+25(x≥0)的图象.
课堂探究
这种采用平均值的方法在解决实际问题中也是很常见的．因为实验所得的数据并不一定具有很强的规律性，所以我们在实验过程中应尽量重复大量实验，以保证数据的代表性，而在函数模型的选择上也是多样的，所选择的函数模型一般也只能大致反应茶水温度变化的局部规律，因此，建立模型后需要对模型进行检验.
7. 检验模型
课堂探究
思考：在25室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感
至此，我们完成整个实际问题的探究，并得到在25室温下，用85水泡制的茶大约需要放置7min，温度能够降到60达到最佳饮用口感.
将y=60代入y=60×0.922 7x+25，得60×0.922 7x+25=60，
解得x=log0.922 7.
由信息技术得x≈6.699 7.
8. 求解问题
课堂探究
思考：你体会到研究这个问题具有哪些实际价值
很多实际问题的背后，可能都隐藏着某种规律，这种规律可以用实验的方法进行探究，并用数学的方法加以刻画．
活动2：请同学们小组合作，结合以上探究过程归纳数学建模的步骤．
归纳总结
课堂探究
以上问题解决过程概括如下：
归纳总结
课堂探究
请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动.
可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，
也可以从下列选题中选择一个：
1.应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻
2.根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
3.用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.
4.估计阅读一本书所需要的时间.
也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究.
探究二 数学建模活动的选题
课堂探究
三、数学建模活动的要求
评价反馈
1. 某药品分两次降价，若平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是(　　)
A.y=m(1 x)2
B.y=m(1+x)2
C.y=2m(1 x)
D.y=2m(1+x)
A
评价反馈
2. 若一个等腰三角形的周长为20 cm，底边长y cm是腰长x cm的函数，则此函数的定义域是(　　)
A.(0，10) B.(0，5)
C.(5，10) D.[5，10)
C
解析 由题意知y=20 2x.
因为三角形两边之和大于第三边，
所以2x>y，即2x>20 2x，解得x>5.
又因为y>0，所以20 2x>0，解得x<10.故5评价反馈
3. 如图，给出了红豆的生长时间t(单位：月)与枝数y(单位：枝)的散点图.那么红豆的生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是(　　)
A.指数函数：y=2t B.对数函数：y=log2t
C.幂函数：y=t3 D.二次函数：y=2t2
A
解析 由题图知函数的图象在第一象限内增长越来越快，且图象过点(2，4)，
故用指数函数y=2t来模拟比较好.
故选A.
评价反馈
4. 有一组实验数据如表所示，
则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　)
A.u=log2t B.u=2t 2
C.u= D.u=2t 2
C
解析 将数据代入验证，可知选C.
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
解析 从题中表格可以看出，随着x的增大，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
评价反馈
5. 以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表，
1
其中关于呈指数函数变化的是____________.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
思考问题
本节课我们主要学习了哪些内容
1.要对实际问题中的变化过程进行深入分析，分析其中常量、变量及相互关系.
2.选择函数模型时要明确运动变化的基本特征，确定运动变化类型.
3.要选择适当的函数类型建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.
4.利用函数模型的解描述实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
布置作业
根据自己的选题做一个课题研究，撰写研究报告.
谢谢大家