江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列求导数运算正确的是（　　）
A．（2x）′＝2x B．
C．（e2x）′＝2e2x D．（cosx）′＝sinx
2. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（　　）
A．13种 B．42种 C．67种 D．7种
3. 已知f（x）＝x2（x﹣k）的一个极值点为2，则实数k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）等于（　　）
A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919
5. 若（2x﹣1）2025＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025，则（　　）
A． 2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
6. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．30
7. 若直线y＝ex+a与曲线y＝lnx+b相切，则a2+b2的最小值为（　　）
A．4 B．1 C． D．2
8. 已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，函数y＝f′（x）的图象如图所示，且f（﹣2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2﹣6）＞1的解集为（　　）
A．（2，3） B．（，）
C．（2，3）∪（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. （多选）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8
C．已知数据x1，x2， ，x10的极差为6，方差为2，则数据2x1+1，2x2+1， ，2x10+1的极差和方差分别为12，8
D．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝0.14，则P（1＜X＜4）＝0.36
10. （多选）下列说法正确的是（　　）
A．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量ξ服从二项分布.
B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N） ，则随机变量ξ服从二项分布.
C．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X 服从超几何分布.
11. （多选）已知函数f（x）为定义（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x＜0时，xf '（x）﹣f（x）＜0，且f（1）＝0，则（　　）
A．2f（e）＞ef（2）
B．当m＜2时，f（m）＞mf（1）
C．3f（﹣π）+πf（3）＜0
D．不等式f（x）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 5555被8整除的余数为______.
13. 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量X＝|m﹣n|, 则P（X＝1）的值为________.
14. 设h′（x）为h（x）的导函数，若h′（x）在区间D上单调递减，则称h（x）为D上的“凸函数”．已知函数f（x）＝﹣sinx+ax2+ax．若f（x）为上的“凸函数”，则实数a的取值范围是 　
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
16. （15分）在的展开式中，求：
（1）求常数项、及此项的二项式系数；
（2）求奇数项的二项式系数的和；
（3）求系数绝对值最大的项．
17. （15分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为54π m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：V=）
（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．
18. （17分）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
（1）若比赛为三局两胜制，
（i）设比赛结束时比赛场次为X，求X的分布列与数学期望；
（ii）求乙最终获胜的概率；
（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
19. （17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＝1时，设g（x）＝f（x）﹣x2， 证明：g（x）在（0，+∞）上存在唯一的极小值点x0,
且g（x0）．(参考数据：e3≈20.09．)
2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高二数学（评分细则）
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D A B D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD A BD ACD
三．填空题（共3小题）
题号 12 13 14
答案 7
四．解答题（共5小题）
15．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R）可得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以f（x）在点（1，4）处切线的斜率为k＝f′（1）＝3+2a+b，
因为f（x）在点（1，4）处切线方程为y＝4，
所以切线的斜率为0，且f（1）＝4，
所以，即，…………………………………………………………4分（各2分）
解得a＝﹣6，b＝9，
所以f（x）＝x3﹣6x2+9x；……………………………………………………………………..6分
（2）由（1）知f（x）＝x3﹣6x2+9x，
则f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），………………………………………………8分
令f′（x）＝0得x＝1或3，
所以在上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，3）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（3，5）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在x＝1处，f（x）取得极大值f（1）＝4，在x＝3处f（x）取得极小值f（3）＝0，………..11分
又因为，f（5）＝53﹣6×52+9×5＝20＞f（1），
所以f（x）在上的最大值为20，最小值为0．……………………………………………13分
16．在的展开式中，求：
（1）求常数项，及此项的二项式系数；
（2）求奇数项的二项式系数的和；
（3）求系数绝对值最大的项．
【解答】解：展开式的通项公式为C，r＝0，1，…，6，
………………………3分
由通项公式可得常数项为第4项即r＝3时，为-160，……………….…………………….5分
其二项式系数为C；………………………………………………………………….…..7分
（2）奇数项的二项式系数和为25＝32，………………………………………………………………..9分
（3）展开式的各项的系数的绝对值为Sr+1＝C，r＝0，1，…，6，
设第r+1项的系数绝对值最大，则，…………………………………………11分
解得，则r＝2，………………………………………………………………………………..13分
所以系数的绝对值最大的项为240x．…………………………………….……..15分
17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为54π m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：V=）
（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，所以h，……….……………………..3分
所以y＝（2πr2×2+2πr2×3+2πrh×3）×10＝100πr2+60πr （），即y＝60π×（r2）；
……….…….6分
因为r≥1，h＞0，所以0，则1≤r＜3，所以定义域为{r|1≤r＜3}，……….……..8分
设f（r）＝r2，1≤r＜3，
则f′（r）＝2r，令f′（r）＝0，解得r＝3，……….………………….……………...10分
当r∈[1，3）时，f′（r）＜0，f（r）单调递减；
当r∈（3，3）时，f′（r）＞0，f（r）单调递增，
所以当r＝3时，f（r）取极小值也是最小值，……….……..……….………………….……………...12分
且f（r）min＝27π， 总费用最小值为1620π，……….……..……….…………………………………..14分
答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620π千元．……….……..……….…………….......15分
18．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
（1）若比赛为三局两胜制，
（i）设比赛结束时比赛场次为X，求X的分布列与数学期望；
（ii）求乙最终获胜的概率；
（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
【解答】解：（1）（i）由题意可知，X所有可能的取值为2，3，……………………………………1分
则，………………………………………………………………………3分
，…………………………………………………………………………5分
所以X的分布列为：
X 2 3
P
所以；…………………………………………………………………….7分
（ii）乙最终获胜的概率；………………………………10分
（2）设事件A＝“甲最终获胜”，事件B＝“共进行了5场比赛”，
则P（A），……………13分
，………………………………………………………..……………16分
故P（B|A）．………………………………………………………………………17分
19．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＝1时，设g（x）＝f（x）﹣x2， 证明：g（x）在（0，+∞）上存在唯一的极小值点x0,
且g（x0）．(参考数据：e3≈20.09．)
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，所以f′（x）＝ex﹣1…………………1分
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，…………………..…3分
所以当x＝0时，函数f（x）有极小值f（0）＝0，无极大值．…………………………….5分
（2）函数f（x）＝ex﹣ax的定义域为R，f′（x）＝ex﹣a．
对a进行讨论，分两种情况：
当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞lna；由f′（x）＜0，解得：x＜lna．
∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增．
综上所述：当a≤0时，f（x）在R上单调递增；………………………………………… .7分
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增．…………….9分
当a＝1时，g（x）＝ex﹣x﹣1﹣x2，g'（x）＝ex﹣2x﹣1，
令m（x）＝ex﹣2x﹣1，则m'（x）＝ex﹣2．……………………… ……………................….10分
当x∈（0，ln2）时，m（x）＜0，m（x）单调递减；
当x∈（ln2，+∞）时，m（x）＞0，m（x）单调递增，
又因为m（ln2）＝eln2﹣2ln2﹣1＝1﹣2ln2＜0，……………..................................................... .12分
m（0）＝0且m，
所以存在唯一的，使得m（x0）＝0，即．………………..14分
当x∈（0，x0）时，m（x）＜0， 即g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x0是 g（x）在（0，+∞）上唯一的极小值点．…….......................................................... .16分
则，由①可知．………….....17分
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