9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课件（17张PPT）

9.2 正弦定理与余弦定理的应用
1.能根据题意建立数学模型，画出示意图.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量高度、距离、角度有关的实际问题.（难点）
紫禁城角楼建于明朝，共有四座角楼，分别位于宫城的四角，是紫禁城里最精美绝伦的建筑。
角楼作为城墙上的高点，肩负着观察和防卫紫禁城的任务。
角楼有九梁十八柱，七十二条脊，而太和殿才有十三条脊；角楼有避祸之意的吻兽二百三十只，而太和殿所雕吻兽才有一百一十四只。
情景导入
你是否能根据学过的正、余弦定理来测量故宫角楼的高度？
知识点1：求建筑物高度
如下图所示，设线段 AB 表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置 C 进行测量；
A
B
C
α
图中∠ACB 可通过仪器测得；
点 A、B 不易到达，故 ?ABC
的 3 条边均无法用米尺测量.
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如图对于底部和顶端都不能到达的故宫角楼的高度，如果只有米尺和测量角度的工具，如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度？
思考
A
B
C
α
D
β
θ
m
γ
φ
如图所示，在可到达的地方再选定一点 D，并使得 CD 的长 m 能用米尺测量；
再用测量角度的仪器测出∠BCD = β，∠BDC = γ，∠ACD = θ，∠ADC = φ；
利用 α，β，γ，θ，φ 以及 m 即可求出 AB 的长.
在 △BCD 中，因为∠CBD = π – β – γ，所以由正弦定理可得
????????????????(π?–??????–?????) = ?????????????????????????，因此 BC = ?????????????????????????????????(?????+?????)；
同理，从 ?ACD 可得 AC = ?????????????????????????????????(?????+?????)；最后，在 ?ABC 中，根据 AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出 AB 的长.
?
知识点2：求两点间距离
例1：如图所示，A，B 是某沼泽地上不便到达的两点，C，D 是可到达的两点. 已知 A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB = 45°，∠BCD = 30°，∠CDA = 45°，∠BDA = 15°，CD = 100 m，求 AB 的长.
解析：因为A，B，C，D 4点都在水平面上，
所以∠BDC = ∠BDA + ∠CDA = 15°+ 45°= 60°，
因此∠CBD = 180°– 30°– 60°= 90°，
所以在 Rt△BCD中，BC = 100cos 30°= 503 (m)；
在△ACD中，因为∠CAD = 180°– 45°– 30°–45°= 60°，
所以由正弦定理可知 ?????????????????????45° = 100?????????????60°，因此 AC = 10063；
在△ABC中，由余弦定理可知 AB = 50153 .
?
1.河对岸有两目标，但不能到达，在岸上选取相距3????????的????,????两点，并使∠????????????=75°，∠????????????=45°,∠????????????=30°,∠????????????=45°,且A,B,C,D在同一平面内，求两目标A,B的距离.
?
在解决实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
画图形
解三角形
检验（答）
知识归纳
知识点3：求解角度问题
实际应用问题中有关的名称、术语：
1．仰角、俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如下图所示．
2.方向角：按照上北下南，左西右东的规定画出东南西北的十字线，然后
在图上画出表示下列方向的射线.
（1）北偏西30°
（2）南偏东20°
（3）北偏东60°
（4）西南方向
2.方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角，方位角的取值范围为0°～360°.
例如：方位角120°
例2：如图所示，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动. 据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60°方向、距城市 A 300 km的海面点 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 30°方向移动. 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为 1003 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响. 如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
?
A
P
60°
30°
解析：如图所示，设台风的中心 x h 后到达位置 Q，且此时 AQ = 1003 km；
在 △AQP 中，有 P = 60°– 30°= 30°，且 AP = 300 km，PQ = 20x km，
因此由正弦定理可得 1003?????????????30° = 300????????????????? = 20?????????????????????；
解得sin Q = 300?????????????30°1003 = 32，所以 Q = 60°或 Q = 120°.
当 Q = 60°，A = 180°– 30°– 60°= 90°，
因此 20x = 1003?????????????30°，x = 103；
当 Q = 120°，A = 30°，因此 20x = 1003，x = 53；
综上，城市 A 在53 h 后会受到影响，持续时间为103 - 53 = 53 ( h ).
?
A
P
60°
30°
Q
2.如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠????????????=60°，C点的仰角∠????????????=45°，以及∠????????????=75°，从C点测得∠????????????=60°.已知山高????????=100????，则山高????????= ????.
?
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3.位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 30°，且与甲船相距 7 n mile 的 C 处的乙船. 那么：
（1）乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到 1°)？
（2）需要航行的距离是多少海里？ (精确到 1 n mile)？
解：（1）画岀示意图，由余弦定理得
所以 BC ≈ 24 (n mile) .
北
A
20
B
C
7
（2）如图，因为 BC ≈ 24 (n mile)，则由正弦定理可得 20sin?????=24sin?120° ，解得 sin?????=20×3224=5312，
由于 0°< C < 90°，所以 C ≈ 46°.
?
北
A
20
B
C
7
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 46°+ 30°= 76°，
大约需要航行 24 n mile.
测量距离
测量角度
正弦定理、余弦定理的实际应用
测量高度
仰角
方向角
方位角
俯角
基点
基线
解决实际问题的步骤