10.1.2 复数的几何意义 课件（17张PPT）

(共17张PPT)
10.1.2 复数的几何意义
1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系. （重点）
2.了解复数的几何意义.（难点）
3.会用复数的几何意义解决有关问题.
我们知道，实数与数轴上的点一 一对应.也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一 一 对应关系？
实数
数轴上的点
一一对应
数
形
实部
虚部
i为虚数单位
复数z=a+bi
有序实数对 （a,b）
一一对应
数
形
一一对应
点Z（a,b）
问题导入
复数z由实部a与虚部b唯一确定.
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面
y轴——虚轴
x轴——实轴
复数z=a+bi
点Z（a,b）
一一对应
a
b
Z(a,b)
x
y
O
z=a+bi
虚轴的单位长度不是i,而是1.
复数的几何意义（一）:
例：复数1+2i
复数3
对应
对应
对应
点A（1，2）
点B（3，0）
点C（0，-1）
复数-i
虚轴上的点，不都表示纯虚数.如原点O
各象限的点对应的复数，实部、虚部都不为0.
复数z=a+bi
点Z（a,b）
一一对应
虚轴上的点表示的都是纯虚数吗？
思考
尝试与发现
设3+i与3-i在复平面内对于的点分别为A与B，则A，B两点位置关系是怎么样的？一般地，当a,b R时，复数a+bi与a-bi在复平面内对应的点有什么位置关系？
复数z=a-bi
点Z‘（a,-b）
对应
复数z=a+bi
点Z（a,b）
对应
关于实轴对称
共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数 用表示.
共轭复数
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量 =(a,b)
一一对应
复数的几何意义（二）:
a
b
Z(a,b)
x
y
O
z=a+bi
| z | = | |
1.
2.两个复数的模可以比较大小.
复数z的模即为z 对应平面向量 的模 ，也就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点 Z(a,b)到原点的距离。
复数的模:
向量 的长度称为复数z=a+bi的模（或绝对值）,复数的模用 表示.
a
b
Z(a,b)
x
y
O
z=a+bi
3. 复数的模的几何意义:
注 意
例如:
复数z1=3+i
复数z2=3-i
复数z=a-bi
复数z=a+bi
两个共扼复数的模相等， 即 .
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　)
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　)
(3)复数的模一定是正实数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
实数绝对值的几何意义:
复数的模（或绝对值）其实是实数绝对值概念的推广
x
O
A
a
x
O
z=a+bi
y
复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
Z(a,b)
一维到二维的推广
例1 设复数z1=3 + 4i在夏平面内对应的点为Z1，对应的向量为 ,复数z2在复平面内对应的点为Z2、对应的向量为 .已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2，并判断 与 的大小关系.
解：
由题意可知Z1(3， 4), 又因为Z1与Z2关于虚轴对称，所以 Z2(-3，4).
从而有Z2= -3 + 4i.
能否再写出一个复数z3 ,使得z对应的向量 与 的模相等？
思考
例题讲解
2.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点，请分别求出满足以下条件的实数m的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
解：复数z的实部为m2－m－2,虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1
a
b
Z(a,b)
x
y
O
z=a+bi
则当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上
则当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
则当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上.
2.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点，请分别求出满足以下条件的实数m的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
a
b
Z(a,b)
x
y
O
z=a+bi
例2 设复数z在复平面内对应的点为Z.说明当z分别满足下列条件时.点Z组成的集合是什么图形.并作图表示.
(1)由 可知向量 的长度等于2,即点Z到原点的距离始终等于2,因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图(1)所示.
(2) 不等式 等价于不等式组
又因为满足 的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部.而满足的点Z的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部.所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括外边界 但不包括内边界).如图(2)所示.
例题讲解
1.已知复平面内的平面向量 表示的复数分别为
,则 _______.
5
2.复数 是纯虚数,则 __________.
2
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)；
1．复数的几何意义
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．
→
→
（3）
2．复数的模
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
复数z=a-bi
复数 z=a+bi
互为共轭复数
（3）
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ ；