9.1.2 余弦定理 课件（共15张PPT）2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册

9.1.2 余弦定理
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.
2.能解决一些简单的三角形度量问题.
如图所示，某高铁的路线规划经过一座小山丘，现需要挖一段隧道.开挖前需要测量出山脚的长度，但两山脚之间的距离无法直接测量. 若在点C 用测量仪已经测出 AC、BC 的距离及∠ACB 的大小，请问要如何才能知道山脚AB的长度呢？
A
B
C
b
a
c = ？
探究点1：余弦定理
思考：如图，情境导入中的问题可转化为已知???? ，????和角???? ，如何求 ????？
?
解析：
如图，设 |????????|=????，|????????|=????， = C，
所以 ????????·???????? = |????????| |????????| cos = abcos C，
而且 ???????? = ???????? ? ????????，因此
|????????|2 = |?????????????????|2 = |????????|2 ? 2????????·???????? + |????????|2
= ????2 – 2????????cos C + ????2，
又因为|????????| = c，因此
?
A
B
C
b
a
c = ？
????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos C
?
余弦定理
类似地，可得
A
B
C
b
????
?
c
????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos C
?
????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos A
?
????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos B
?
三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍.
若已知三角形两边及其夹角，可用余弦定理求出该三角形的第三边.
已知 △ABC 中，a = 3，b = 6，C = 60°，求 c.
由余弦定理可知 ????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos C
= 32 + 62 – 2×3×6×cos 60°
= 27，
因此 c = 27 = 33.
?
例1
解析：
B
A
C
已知 △ABC 中，a = 6，b = 4，c = 27，求 C.
?
由 ????2 = ????2 + ????2 – 2????????cos C 可得
(27)2 = 62 + 42 – 2×6×4cos C，
解得 cos C = 12；
又因为 0°< C < 180°，所以 C = 60°.
?
例2
解析：
探究点2：余弦定理的推广、运用
思考：显然余弦定理表述了任意一个三角形中三边长与三个内角余弦之间的数量关系，那么我们能不能由三角形的三边计算出三角形的三个角呢？
角化边
已知三边求三角.
A
B
C
在?????????????中，已知????=3,????=2,????=19,求角????的大小及面积.
?
即时训练
?????????????????=12????????????????????????=12×3×2×32=332
?
解：由余弦定理得
cos????=????2+????2?????22????????
=32+22?(19)22×3×2
=9+4?1912
= -12.
?
因此∠C=120°.
已知 △ABC 中，已知 ????cos A = ????cos B，试判断这个三角形的形状.
?
例3
利用余弦定理可知 ????×????2?+?????2?–?????22???????? = ????×????2?+?????2?–?????22????????
因此 ????2(b2 + c2 – ????2) = b2(????2 + c2 – b2)，即 ????2c2 – b2c2 – ????4 + b4 = 0，
从而 (????2 – b2)c2 – (????2 – b2)(????2 + b2) = 0，
所以 (????2 – b2)(c2 – ????2 – b2) = 0，
因此 ????2 – b2 = 0 或 c2 – ????2 – b2 = 0.
当 ????2 – b2 = 0 时，???? = b，此时 ?ABC 是等腰三角形；
当 c2 – ????2 – b2 = 0 时，????2 + b2 = c2，此时 ?ABC 是直角三角形；
故 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形.
?
解析：
在?ABC中，若角A为最大角（大边对大角）
①????????????????<0?????2＞b2+c2，则?ABC为 ；
②????????????????=0?????2=b2+c2，则?ABC为 ；
③????????????????>0?????2＜b2+c2，则?ABC为 .
?
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
判断三角形形状
知识归纳
在?ABC中，bcosA=????cosB，则三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形

?
C
跟踪训练
????×????2?+?????2?–?????22???????? = ????×????2?+?????2?–?????22????????
?
解：利用余弦定理将角化为边.

所以b2＋c2－????2＝????2＋c2－b2，所以????2＝b2,所以a＝b，
故此三角形是等腰三角形.
?
B
D
A
C
如图，平面四边形ABCD中，已知 B + D = 180°，AB = 2，BC = 42，CD = 4，AD = 25，求四边形 ABCD 的面积.
?
如图所示，连接点 A、C，
在?ABC与?ADC中分别使用余弦定理可得
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB×BCcos B，
AC2 = AD2 + CD2 – 2AD×CDcos D.
又因为 B + D = 180°，所以 cos D = cos(180°– B) = – cosB，
因此 22 + (42)2 – 2×2×42cos B = (25)2 + 42 + 2×25×4cos B.
解得 cos B = 0，因此 cos D = 0，则 B = D = 90°；
从而可知四边形的面积为 12×2×42 + 12×4×25 = 4(2 + 5).
?
例4
解析：
在?ABC中，求证：????= bcos C + ccos B.
?
证明：如图所示，???????? = ???????? + ?????????，
因此 ????????·???????? = (???????? + ????????)·????????
= ????????·???????? + ????????·????????.
由图可知 |????????| = ????，????????·???????? = ????????cos C，????????·???????? = ????????cos B，
所以 ????2 = ????????cos C + ????????cos B，即 ???? = bcos C + ccos B.
?
B
A
C
c
a
b
例5
余弦定理
解三角形
余弦定理的定义及公式
余弦定理的推论