2.2.2 导数的几何意义 课件 （共15张PPT）2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

2.2.2 导数的几何意义
第二章 导数及其应用
1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
平均变化率的几何意义
【问题1】设函数y＝f (x)的图象如图，点 ，点 ，
则 在 上的平均变化率为
结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P之间的平均变化率即为割线P0P的斜率.
它表示什么？
【问题2】导数????’(????0)=?????????????????→0??????????=?????????????????→0????(????0+?????)?????(????0)?????表示什么？
?
x
y
x0
x0+?x
f(x0)
f(x0+?x)
y=f(x)
O
P
?
P0
T
?
f(x0+?x)-f(x0)
观察右图，当点 P 沿着曲线y＝f (x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
我们发现，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线.
x
y
O
y＝f (x)
f (x0)
x0
T
切线的定义：
P0
P
在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x))
此切线定义与初中学过的圆的切线定义有何不同 ？
导数f ′(x0)的几何意义：
割线P0P 的斜率k
切线P0T 的斜率k0
点P → 点P0
函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0)
曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0
导数f ′(x0)的几何意义
P0
T
P0
T
P0
T
通过观察，可以发现点 P0 处的切线 P0T 比任何一条割线都更贴近点 P0 附近的曲线.
如图，将点 P0 附近的曲线不断放大，可以发现点 P0 附近的曲线越来接近于直线.
因此，在点 P0 附近，曲线 y = f (x) 可以用点 P0 处的切线 P0T 近似代替.
P
x
y
O
T
即
思考：你能求出曲线y=f (x)在点M(x0, f (x0))处的切线方程是什么吗？
【例1】已知函数y=x2及自变量x0=-2.
（1）分别对△x=l，0.5，0.1求y=x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线；
（2）求函数y=x2在x0处的导数，并画岀曲线y=x2在点(x0，f(x0))处的切线.
解：当△x=l，0.5，0.1时，区间[x0，x0+△x]相应为[-2，-1]，[-2，-1.5]，[-2，-1.9]，y=x2在这些区间的平均变化率分别为
令△x趋于0，可知函数y=x2在x0=-2处的导数为-4.
如图，其相应割线分别是经过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l1，经过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l2，经过点（-2，4）和点（-1.9，3.61）的直线l3.
（2）函数y=x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为
因此，曲线y=x2在点（-2，4）处的切线为经过点（-2，4），斜率为-4的直线l，如图.
【例2】已知函数????(????)=1????，求曲线y=????(????)在(2,????2)处的切线方程.
?
解：因为????′2 =lim?????→0????2+??????????(2)?????
=lim?????→012+??????12?????=lim?????→0?12(2+?????）=?14，
又因为????(2)=12，
所以切线的方程为 y?12=?14(?????2)，
即????+4?????4=0.
?
切点坐标(2, 12)
?
斜率为?14
?
归纳总结
求曲线在某点处的切线方程的步骤
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的几何意义是什么？
2.如何求函数在某点处的切线的方程？
1.如图，直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线，
则f ′(x0)=( )
A.0.5 B.3 C.4 D.5
2.曲线y=-2x2 +1在点P(1，-1)处的切线方程为 .
A
4x+y-3=0
3.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A.0 B.0 C.0 D.0C