2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件（共14张PPT）2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

第二章 导数及其应用
2.4.2 导数的乘法与除法法则
北师大版(2019)选择性必修二
1.掌握导数的乘法和除法法则.
2.能应用法则对有关函数求导.
问题1：如果????????，????????都可导，你认为???????????????? 的导数与????′????，????′????有什么关系？用实例验证你的猜想.
?
一般来说，????????????????′≠????′????????′????.
例如，当????????=????，?????????=????2时，?????????????????=????3，因此
????????????????′=(????3)′=3????2，????′????=1， ????′????=2????，
即????????????????′≠????′????????′????.
事实上，可以证明，当????????，????????都可导都可导时，有
????????????????′=????′????????????+????????????′????.
即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.
?
特别地，当????????是常函数，即????????=C时，因为????′=0，所以由上述法则立即可以得出
????????????′=????????′????.
即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.
?
问题2：如果????????，????????都可导，且????????≠0，????′(????)≠0，你认为????????????????的导数与????′(????)，????′(????)有什么关系？用实例验证你的猜想.
?
一般来说，????????????????′≠????′????????′????.
例如，当????????=????2，?????????= ????时，????????????????=????2????=????，
因此????????????????′=（????）′=1，????′????????′????=2????1=2????，
即????????????????′≠????′????????′????.
事实上，可以证明，当????????，????????都可导，且????????≠0，????′????≠0时有
????????????????′=????′(????)?????????????????????′????[????????]2.
?
事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，有
?
????????????????′=????′????????????+????(????)????′????
?
积
????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????)
?
商
例1 求下列函数的导数：
（1）????????=????3e????； （2）????????=2sin????????2;
?
解：（1）????′????=????3e????′
=(????3)′e????+????3(e????)′
=3????2e????+????3e????
?=3????2+????3e????.??????
?
（2）????′(????)=2sin????????2′
??????????????????? =2sin????′????2?2sin????(????2)′????4
???????????? ?=2cos?????????2?2sin?????2????????4???????
??????????????????????=2????cos?????4sin????????3??.???????????????????
?
归纳总结
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
求函数的导数的策略
例3 求曲线 在点(1，0)处的切线的方程 .
根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
解：先求出函数 的导数.
将x=1代入f?(x)，则所求切线的斜率为
即
所以曲线 在点（1，0）处的切线的方程为
1.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
B
2.已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______.
y＝x
A
导数的四则运算法则：
(1)条件：????(????)，????(????)是可导的.
(2)法则：
①[????(????)±????(????)]’=????’(????)±????’(????)； ②[????(????)????(????)]’=????’(????)????(????)+????(????)????’(????).
③[????(????)????(????)]’=????’(????)????(????)?????(????)????’(????)[????(????)]2(????(????)≠0)；④[????????(????)]’=????????’(????).