2.5 简单复合函数的求导法则 课件（共16张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

2.5 简单复合函数的求导法则
第二章 导数及其应用
理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；
能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.
情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有
复合函数
一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称
为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量.
复合函数可分为内外两层：
f (u)为外层函数
g(x)为内层函数.
概念生成
问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的：
(1)????=(3+sin????)4；
(2)????=ln12????+1；
(3)????=22?????1；
(4)????=11?cos????.
?
(????=????4，????=3+sin????)
?
(????=ln????，????=12????+1)
?
(????=2????，????=2?????1)
?
(????=1????，????=1?cos????)
?
问题2：已知?????=sin2????，????????=sin????，????????=2????.
(2)分别求出?′????，????′????，????′????，并总结它们之间的关系.
?
(2)因为?????=sin2????=2sin????cos????，
所以?′(????)=(2sin????cos????)′ =2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′
=2????????????2?????2????????????2????
=2????????????2????.
又因为????′????=cos????，????′????=2，所以
?′????=????′????(????)????′????.
?
一般地，如果函数????=????????与????=????????的复合函数为
????=?????=????????(????)，
则可以证明，复合函数的导数?′????与????′????，????′????之间的关系为
这一结论也可以表示为
即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
?
复合函数求导法则
?′????=????????????′=????′????????′(????)=????′(????????)????′????.
?
????′????=????′????????′????.
?
概念生成
解：(1)函数h(x)=????5?????1可以看作函数????????=????????和????=????????=5?????1?的复合函数，根据复合函数求导法则，因此
?′????=????′(????)????′(????)=????????′(5?????1)′ =???????? ×5=5????5?????1.
(2)函数????=ln2????+1可以看成是由?????=ln????和????=????????=2????+1的复合函数，因此?′????=????′(????)????′(????)=ln????′(2????+1)′ =1???? ×2=22????+1.
?
【例1】求下列函数的导数
(1)h(x)=????5?????1;? (2)f(x)=ln2?????1;
(3)????=2?????1; (4) ????=sin2x+????3.
?
(3)????=2?????1; (4) ????=sin2x+????3.
?
(3)函数y=2?????1可以看成是由????=????和????=2?????1的复合函数，因此
????????′=????????′ ?????????′=(????)′ ?(2?????1)′=12????×2=2?????12?????1.
(4)函数????=sin2????+????3可以看成是由????=????????????????和????=2????+????3的复合函数，因此
????????′=????????′ ?????????′=(????????????????)′ ?(2????+????3)′=cosu×2=2cos?(2????+????3).
?
方法归纳
求复合函数导数的步骤
【例2】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ ，则在t＝40 min时的降雨强度为( )
A.20 mm B.400 mm
D
【例3】若曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求a的值.
解：令y=f(x)，则曲线y=eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)，
又因为切线与直线x+2y+1=0垂直，所以f'(0)=2.
因为f(x)=eax，所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax，
所以f'(0)=ae0=a，
故a=2.
结合以下关键词谈谈你的收获：
1.复合函数；
2.复合函数的导数法则；
3.复合函数求导法则的综合应用.
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( 　)
A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2
C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1，y＝tn
2.函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x
C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x
AD
B
3.(多选)下列结论中不正确的是( 　)
ACD
4.已知函数f?(x)在x＝1处的导数为3，则f?(x)的解析式可能为(　　)
A.f?(x)＝(x－1)3＋3(x－1)
B.f?(x)＝2(x－1)
C.f?(x)＝2(x－1)2
D.f?(x)＝x－1
5.若曲线f(x)=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是
.?
A
(-ln 2，2)