2.6.1 函数的单调性 课件（共17张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

2.6.1 函数的单调性
第二章 导数及其应用
1.理解导数与函数单调性的关系.
2.会利用导数判断或证明函数单调性.
3.会利用导数求函数单调区间.
我们知道，对于函数y=f(x)来说，导数f?(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少.
两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x．
问题1：试判断上面六个函数的单调性.
问题2：求上面六个函数的导数．
问题3：试判断所求导数的符号.
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1：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．
3：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
2：
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x．
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
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当f ′(x)>0， f(x)单调递增;
当f '(x)<0， f(x)单调递减.
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
归纳总结
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)>0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)<0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
注意：若在某个区间内，f?(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内，f?(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
【例1】求证:函数f(x)=ex-x-1在区间(0，+∞)内单调递增，在区间(-∞，0)内单调递减.
证:由f(x)=ex-x-1，得f'(x)=ex-1.
当x∈(0，+∞)时，ex>1，即f'(x)=ex-1>0，
故函数f(x)在区间(0，+∞)内单调递增;
当x∈(-∞，0)时，ex<1，即f'(x)=ex-1<0，
故函数f(x)在区间(-∞，0)内单调递减.
【例2】利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f (x) = 13x3-x2+2x-5；(2)f(x)＝x－ex(x>0).
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解:(1)因为f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以函数f (x) = 13x3-x2+2x-5在R上为增函数.
(2)因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数.
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利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立.
一般步骤为：
(1)确定函数的定义域(给定区间除外).
(2)求导函数f′(x).
(3)判断f′(x)的符号.
(4)给出单调性结论.
方法归纳
【例3】求函数????=????2?2????+4的单调区间.
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解：根据题意有????′= 2?????2，
令????′ >0，可得2?????2>0 ，解得????>1 ，
因此，函数在区间[1,+∞)上是增函数；
令????′ <0?，可得2?????2<0，解得????<1 ，
因此，函数在区间(?∞,1]上是减函数；
综上可知，函数的单调递减区间为(?∞,1]?，单调递增区间为[1,+∞).
?
此题还可以用导数为0的点来划分函数的单调区间.
令????′=0，解得????=1，
????<1时，????′<0，函数单调递减；
????>1时，????′>0，函数单调递增；
综上可知，函数的单调递减区间为(?∞,1]?，
单调递增区间为[1,+∞).
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0
1
????=????2?2????+4
?
????′=2?????2
?
【例3】求函数????=????2?2????+4的单调区间.
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方法归纳
用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导函数f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间.
【例4】讨论函数????????=????ln????+????的单调性，其中a为实常数.
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解：根据题意，函数????(????)的定义域为(0,+∞)，
又????′????=????????+1，
令????′????>0，可得????>?????，
①当?????≤0，即????≥0时， ????′????>0恒成立，此时????(????)在(0,+∞)上单调递增；
②当?????>0，即????<0时， ????′????>0的解为????>??????，
此时????(????)在(0,?????]上单调递减，在[?????, +∞)上单调递增.
?
注意：函数中含有参数时，要对参数进行讨论.
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的符号与函数的单调性之间的关系？
2.怎样判断函数的单调性？
3.用解不等式法求单调区间的步骤是什么？
1. 函数????????=2??????????????????????在(?∞，+∞)上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
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A
2. 函数????=????(????)的图像如图所示，则下列正确的是 （ ）
A. ????′3>0
B. ????′3<0
C. ????′3=0
D. ????′3的正负不确定
?
B
3. 函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是(　　)
C
4.函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为____________．
(0，＋∞)