2.6.3 函数的最值 课件（共17张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

— 第二章 导数及其应用 —
2.6.3 函数的最值
1.理解极值与最值的区别和联系；
2.掌握求函数最值的方法．
如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图象，函数f(x)在[a，b]上的极值在什么位置取到？
极小值点是x1，x3，极大值点是x2
能否找出该区间的最值？
最大值是f(b)，最小值是f(x3)
一般地，设函数????=????????的定义域为I，
如果存在????0∈???? ，对于任意的????∈????，都有????(????)≤????(????0) ，那么，称????(????0)是函数????=????????的最大值.
如果存在????0∈???? ，对于任意的????∈????，都有????(????)≥????(????0) ，那么，称????(????0)是函数????=????????的最小值.
?
知识讲解
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
分别观察下列函数图象，分析函数 ????=????????在开区间(????,????)上的最值情况.
?
o
x
y
a
b
y=f(x)
o
x
y
a
b
y=f(x)
o
x
y
a
b
y=f(x)
有最大值
无最小值
有最小值
无最大值
无最大值
无最小值
一般地，如果函数 ????=????????在闭区间[????，????]上的图象是一条连续不断的曲线，那么它在[????，????]上必有最大值与最小值.
?
o
x
y
a
b
y=f(x)
归纳总结
观察函数????=????????，????∈[?3，2]的图像，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
思考1:图中所示函数的最值点与最值分别是多少？
?
x
y
y = f (x)
?3
?
2
?
O
最大值点为2，最大值为3；
最小值点为0，最小值为-3.
最大值
最小值
思考2:图中所示函数的极值点与极值分别是多少？
极大值点为-2，极大值为2；
极小值点为0，极小值为-3.
讨论:一般的函数的最值与函数的极值有什么关系？怎样求可导函数的最值.
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
① 一般地，如果函数????=????(????)的定义域内为(????,????)且存在最值，函数????=????(????)在(????,????)内可导，则函数的最值点一定是某个极值点；
②如果函数????=????(????)的定义域为[????,????]且存在最值，函数????=????(????)在(????,????)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点????或????，要么是极值点.
?
利用导数求出区间内的极值，并与区间端点处函数值比较，即可确定.
判断:1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( )
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( )
4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.( )
√
×
×
√
也可能在极值点处取到.
有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.
例1 已知函数f(x)＝1?????????＋ln x，求f(x)在[12，2]的最值.
?
例1 已知函数f(x)＝1?????????＋ln x，求f(x)在[12，2]的最值.
?
例2 已知????(????)=3????3?9????，????∈?2，3，求????(????)在定义域的最值.
?
解：因为f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
所以令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
则当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ????
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，3)
3
?????′(????)
?
＋
0
－
0
＋
?
?????(????)
－6
↗
6
↘
－6
↗
54
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，3)
3
?
＋
0
－
0
＋
?
－6
↗
6
↘
－6
↗
54
由表可知极值f(-1)=6，f(1)=-6，区间端点函数值f(-2)=-6，f(3)= 54(x= 3不可取)，
经比较最小值为-6，无最大值.
例3 已知2xln x≥-x2+ax-3对一切x∈(0，+∞)恒成立，求a的取值范围.
解：由2xln x≥-x2+ax-3(x>0)得a≤2ln x+x+3????(x>0).
设h(x)=2ln x+3????+x(x>0)，则h'(x)=(????+3)(?????1)????2，
当x∈(0，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(1)=4.
∴a≤h(x)min=4.
即a的取值范围是(-∞，4].
?
恒成立问题常利用分离参数法，转化为求函数最值问题求解，一般思路为
方法归纳
1.如图是导函数y＝f?′(x)的图象，最大值点一定不是(　　)
B
A.x1?? B.x2??? C.x3?? D.x4
2.函数y=x-sin x，x∈π2，π的最大值是( )
A.π-1 B.π2-1 C.π D.π+1
3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值
4.已知函数f(x)=ex-x+a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，+∞) B.(-∞，-1) C.[-1，+∞) D.(-∞，-1]
?
C
C
A
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 函数的极值与最值有什么关系？
2. 如何求一个函数的最值？