5.1.1 复数的概念 课件（共13张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第二册

(共13张PPT)
5.1.1 复数的概念
第五章 复数
对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，
当 Δ = b2 - 4ac < 0 时没有实数根.
因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决.
从方程的角度看，负实数能不能开平方，
就是方程 x2 + a = 0 ( a > 0 ) 有没有解，
进而可以归结为方程 x2 + 1 = 0 有没有解.
N
Z
Q
R
数系是一个不断扩充的过程
引入新数 i，使得 x = i 是方程 x2 + 1 = 0 的根，即使得 i2 = -1.
i 和实数之间能够进行加法和乘法运算，
而且加法和乘法都满足交换律、结合律，
以及乘法对加法的分配律.
思考：得到的新数是什么样的形式呢？
① 定义：形如 a + bi (a，b∈R) 的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部；
全体复数构成的集合 C = {a + bi | a，b∈R} 叫做复数集；
② 表示方法：复数通常用字母 z
表示，即 z = a + bi (a，b∈R).
在复数集 C = { a + bi | a，b∈R } 中，任取两个数 a + bi，c + di
(a，b，c，d ∈R)；
规定：a + bi 与 c + di 相等的充要条件是 a = c 且 b = d.
问题：如何定义两个复数相等？
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
例1：给出下列几个命题，其中真命题的个数为（ ）
① 若 z∈C，则 z2 ≥ 0；② 2i - 1虚部是 2i；③ 2i 的实部是0；
④ 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤ 实数集的补集是虚数集.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：令 z = i∈C，则 i2 = - 1 < 0，故 ① 不正确；
② 中 2i - 1 的虚部应是 2，故 ② 不正确；
④ 当 a = 0 时，ai = 0为实数，故 ④ 不正确；
∴ 只有 ③，⑤ 正确.
例2：已知复数 z = a2 - (2 - b)i 的实部和虚部分别是2和3，则实数 a，b 的值分别是________.
解：由题意知 ，∴ a = ±，b = 5.
解：（1）复数 z 是虚数的充要条件是
∴ 当 m ≠ - 3 且 m ≠ - 2 时，复数 z 是虚数；
例3：求当实数 m 为何值时，z = + (m2 + 5m + 6)i 分别是：
（1）虚数； （2）纯虚数.
解得m = 3；∴当 m = 3 时，复数 z 是纯虚数.
（2）复数 z 是纯虚数的充要条件是
例4：已知 x0 是关于 x 的方程 x2 - (2i - 1)x + 3m - i = 0 (m∈R) 的实根，则
m 的值是_______.
解：由题意，得 x02 - (2i - 1)x0 + 3m - i = 0，即(x02 + x0 + 3m) + ( - 2x0 - 1)i = 0，
1.若 xi - i2 = y + 2i，x，y ∈ R，则复数 x + yi 等于（ ）
A. -2 + i B.2 + i C.1 - 2i D.1 + 2i
解：由 i2 = - 1，得 xi - i2 = 1 + xi，则由题意得1 + xi = y + 2i，
根据复数相等的充要条件得 x = 2，y = 1，故 x + yi = 2 + i.
2.若复数 z = m2 - 1 + (m2 - m - 2)i 为实数，则实数 m 的值为（ ）
A. -1 B.2 C.1 D. - 1或2
解：由已知可得，m2 - m - 2 = 0，解得 m = - 1 或 m = 2.
3. 若关于 x 的方程 3x2 - x - 1 = (10 - x - 2x2) i 有实根，求实数 a 的值.
解：设方程的实根为 x = m，则原方程可变为 3m2 - m - 1 = (10 - m - 2m2)i，
所以 ，解得m = 2或m = ，则a = 11或 - .
01
概念
02
分类
03
相等