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5.1.2 复数的加法与减法
第五章 复数
法则1:设 z1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d∈R),
则 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
运算律:z1 + z2 = z2 + z1,(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
几何意义:
O
Z
Z1(a,b)
Z2(c,d)
y
x
法则2:设 z1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d∈R)
则 (a + bi)-(c + di) = (a-c) + (b-d)i.
几何意义:
O
Z1(a,b)
Z2(c,d)
y
x
例1:(1)计算:(2-3i) + (-4 + 2i);
(2)已知 x∈R,y∈R,(xi + x) + (yi + 4) = (y-i)-(1-3xi),求 x,y 的值;
(3)已知 z1 = (3x-4y) + (y-2x)i,z2 = (-2x + y) + (x-3y)i,x,y 为实数,若 z1-z2 = 5-3i,求 |z1 + z2| 的值.
解:(1)(2-3i) + (-4 + 2i) = (2-4) + (-3 + 2)i = -2-i;
(2)x + 4 + (x + y)i = (y-1) + (3x-1)i,所以x + 4 = y-1,x + y = 3x-1,解得x = 6,y = 11;
(3)z1-z2 = [(3x-4y) + (y-2x)i]-[(-2x + y) + (x-3y)i] = [(3x-4y)-(-2x + y)] + [(y-2x)-(x-3y)]i
= (5x-5y) + (-3x + 4y)i = 5-3i,
所以5x-5y = 5,-3x + 4y = -3,解得x = 1,y = 0.
所以z1 = 3-2i,z2 = -2 + i,则z1 + z2 = 1-i,所以|z1 + z2| = .
例2:(1) 设向量,,对应的复数分别为z1,z2,z3,那么( )
A.z1 + z2 + z3 = 0 B.z1-z2-z3 = 0 C.z1-z2 + z3 = 0 D.z1 + z2 - z3 = 0
(2) 在复平面内,若,对应的复数分别为 7 + i,3-2i,|| = ______.
解: (1) 因为 + = ,所以z1 + z2 = z3,即z1 + z2 - z3 = 0.
(2) || = || = |-4-3i| = = 5.
D
5
例3 如图,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分别表示0,3 + 2i,-2 + 4i.
求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.
解:(1)因为 = -,所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为 = - ,
所以表示的复数为 (3 + 2i)-(-2 + 4i) = 5-2i.
(3)因为 = + ,
所以表示的复数为(3 + 2i) + (-2 + 4i) = 1 + 6i.
例4:根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点 Z1(x1, y1),Z2(x2, y2)之间的距离.
解:因为复平面内的两点Z1(x1, y1),Z2(x2, y2)
对应的复数分别为 z1 = x1 + y1i,z2 = x2 + y2i,
所以点Z1,Z2之间的距离为
|Z1Z2| = || = |z2-z1| = |(x2 + y2i)-(x1 + y1i)|
= | (x2-x1) + (y2-y1)i | = .
O
Z2
Z1
y
x
例5: (1) 如果复数 z 满足 |z + i| + |z-i| = 2,求 |z + i + 1| 的最小值;
(2) 若复数 z 满足 |z + + i| ≤ 1,求 |z| 的最大值和最小值.
解:(1)设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,
因为 |z + i| + |z-i| = 2,|Z1Z2| = 2,所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2.
因为 |Z1Z3| = 1,所以 |z + i + 1|min = 1.
(2)满足 |z + + i| ≤ 1 的条件的点落在以 (-,-1) 为圆心,
半径为 1 的圆及内部,则 |z| 的最值即为求满足条件的点到原点的距离的最值. 如图所示,|| = = 2,
所以|z|max = 2 + 1 = 3,|z|min = 2-1 = 1.
1. △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3,复数 z 满足 |z-z1| = |z-z2| = |z-z3|,则 z 对应的点是 △ABC 的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解:设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应,由 △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3,及|z-z1| = |z-z2| = |z-z3|,可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点 Z 即为 △ABC 的外心.
A
2. 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2 + i,-1 + 2i.
(1)求向量,,对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.
解:(1) 对应的复数为2 + i-1 = 1 + i,
对应的复数为-1 + 2i-1 = -2 + 2i,对应的复数为-1 + 2i-(2 + i) = -3 + i.
(2) 因为|| = ,|| = ,|| = = 2,
所以||2 + ||2 = ||2,所以△ABC为直角三角形.
(3) S = × ×2 = 2.
复数加法
复数减法
复数的模
法则、几何意义
几何意义
法则、几何意义