9.4 探索三角形相似的条件 解答专项练习题（含答案）鲁教版八年级数学下册

鲁教版八年级数学下册《9.4探索三角形相似的条件》
解答专项练习题（附答案）
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，EF⊥AB．求证：△CDF∽△ECF．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
3．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F．求证：△AEF∽△CAB．
4．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD∽△BAC．
5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，请指出其中一对相似三角形并证明之．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
8．阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．
（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．
9．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，连接ED，求证：△ABC∽△ADE．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
11．如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC．EF⊥AB，证明：△AEF∽△ABE．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，D是垂足，求证：△ACD∽△ABC．
13．如图，△ABC中，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D．求证：△CDE∽△CAB．
14．已知：在Rt△ABC中∠C＝90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
15．在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F，与AB交于点G．求证：△ABC∽△FGD．
17．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？
18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠A＝∠F；
（2）△CDE与△FDC是否相似？并给予证明．
19．如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．
（1）试说明：△AED∽△EHD；
（2）若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．
20．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
21．已知Rt△ABC中，直角边AC＝3，BC＝4，P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合．点Q不与B、C重合．
（1）若CP⊥AB于点P，如图1，△CPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长（不写解答过程）
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？
参考答案
1．证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴AF＝CF，∠A+∠B＝90°．
∴∠A＝∠DCF．
∵EF⊥AB，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠DCF，
∴△CDF∽△ECF．
2．证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°．　　　（2分）
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C．　　　（2分）
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE＝90°．　　（2分）
∵∠BOA+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE．　　　　　　（2分）
∴△ABF∽△COE．　　　　　　（2分）
3．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB．
4．解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．
∴＝，＝＝，
∴＝，
而∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC．
5．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
6．解：△ACD∽△CBD 或△ACB∽△CDB或△ACB∽△ADC．
∵∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°
∴∠B＝∠ACD
∵∠CDB＝∠ADC＝90°
∴△ACD∽△CBD．
同法可证，△ACB∽△CDB或△ACB∽△ADC．
7．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
8．解：（1）△ADE∽△FCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DEA．
又CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，即∠CFD＝∠A，
因而，△ADE∽△FCD；
（2）由题意知，AD＝CD＝1，AE＝．
在直角△DEA中，有DE＝＝＝．
由（1）可得：＝，则CF＝＝．
9．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
10．证明：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ADC＝∠BEC，
而∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
11．证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠FAE＝∠DAB，∠ABE＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
又∵∠BAE＝∠BAF，
∴△AEF∽△ABE．
12．证明：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
13．证明：∵BE⊥AC于E，AD⊥BC，
∴点A、B、D、E四点共圆，
∴∠CDE＝∠CAB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB．
14．证明：∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
15．解：△GCF∽△ABF，
△GDE∽△AED，
△GDE∽△ADC，
△GCF∽△AGD．
∵∠G＝∠G，∠GCF＝∠GDA，
∴△GCF∽△GDA．
16．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠FDG＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEA＝90°，
∴∠FEA＝∠BCA．
∴EF∥BC，
∴∠FGB＝∠B，
∴△ABC∽△FGD．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝CD＝AD，
∵CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM＝∠AED，
∵∠MAF＝∠DAE，
∴△AMF∽△ADE；
（3）BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF＝∠D＝90°，
∴BF⊥AE．
18．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，
即∠B+∠F＝90°，
∴∠A＝∠F；
（2）解：△CDE∽△FDC．
理由是：∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠A+∠ADE，∠DCF＝∠DCE+∠ECF，
∴∠CED＝∠FCD，
∴△CDE∽△FDC．
19．（1）证明：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH＝∠ADC＝∠EDH＝90°，
∴∠AED+∠DEH＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DEH＝∠DAE．
∴△AED∽△EHD．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝CD＝4．
∵E为CD的中点，
∴DE＝2．
∵△AED∽△EHD，
∴，
∴．
∴DH＝1．
20．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE．
∴AF＝DE．
在△ABF与△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）．
（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠FBA＝∠EAD．
∵∠FBA+∠AFM＝90°，∠EAF+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠AFM．
∴△ABM∽△FAM．
同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．
21．解：（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，
则腰是CQ＝PQ；
此时CQ＝BC＝2；
当CP为腰时，在BC上截取CQ＝CP，
则腰是CP＝CQ′，
此时CQ＝CP＝＝2.4；
当PC＝PQ时，作PM⊥BC于M，则CM＝MQ，
∵△CPM∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
CM＝，
CQ＝2CM＝．
综上所述，满足条件的点Q有3个，CQ的长为2或2.4或．
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有2个，
①△PQC∽△ACB时，
∴＝＝，
∴CQ＝BC＝2，
②△CPQ″∽△BCA时，
∴，
∴，
∴CQ″＝；