北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形复习题--分类讨论思想与等腰三角形的综合运用（含解析）

1.1 等腰三角形复习题--分类讨论思想与等腰三角形的综合运用
【题型1 与边有关的讨论】
1.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或2 D．或
2.已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为 ．
3.已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角的周长是（　　）
A．8 B．11 C．13 D．11或13
4.用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为 .
【题型2 与角有关的讨论】
1.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ．
2.已知等腰三角形的一个底角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
3.在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
4.若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的，则称这个三角形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
【题型3 与中线有关的讨论】
1.已知在中，，周长为24，边上的中线把分成周长差为6的两个三角形，则各边的长分别为（ ）
A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12
2.等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9两部分，则等腰三角形的腰长为 ．
3.已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
4.如图，为等边三角形，是中线，点E是边上一点，若是等腰三角形，则的度数是 ．
【题型4 与高有关的讨论】
1.已知等腰 的周长为16，其中一边长为6，AD 为底边BC 上的高，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 或 6 D．2 或 3
2.已知等腰为边上的高，且，则等腰的底角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．以上都不对
3.等腰三角形的顶角是，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
4.已知是等腰三角形，边上的高恰好等于边长的一半，则的度数为（ ）
A．或 B． C．或 D．或或
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】
1.在中，，过的中点作的垂线，交直线于点，若，则 °．
2.已知线段的垂直平分线上有两点E，F，直线交于点C，且，，则 ．
3.在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于 ．
4.已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ．
【题型6 与动点有关的讨论】
1.如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
2.如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形．
3.如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
4.如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【题型7 与三角形形状有关的讨论】
1.如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么 ．（用的代数式表示）
2.若等腰三角形腰长为，面积是，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. B. 或 C. D. 或
3.若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是( )
A. B. C. 或 D. 或
4.从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角等于( )
A. B. C. D. 或
【题型8 与构造三角形有关的讨论】
1.如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ．
2.如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ．
3.已知在中，，D为边上一点，和都是等腰三角形，则的度数可能是 ．
4.定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ．
参考答案
【题型1 与边有关的讨论】
1.D
【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当为腰长时，
∵等腰的周长为20，
∴的底边长为：，
∴“优美比”为；
当为底边长时，
的腰长为：，
∴“优美比”为；
故选D．
2.或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
分情况讨论即可．
【详解】解：当为腰，为底时，
，，
能构成三角形，
等腰三角形的周长；
当为腰，为底时，
，，
能构成三角形，
等腰三角形的周长；
故答案为：或．
3.D
【分析】首先根据|2a-b-1|+（b-a-2）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【详解】解：∵|2a-b-1|+（b-a-2）2=0，
∴，
解得：，
当3为腰时，三边为3，3，5，由三角形三边关系定理可知，周长为：3+3+5=11．
当5为腰时，三边为5，5，3，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+3=13．
故选：D．
4.8
【分析】可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=20，
解得x=5，
此时三角形的三边长分别为：5、5和10，
因为5+5=10，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意；
②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此时三角形的三边长分别为：4、8、8，满足三角形的三边之间的关系，
∴这个三角形的腰长为8cm；
故答案为8.
【题型2 与角有关的讨论】
1.或
【分析】分∠A为顶角和底角两类进行讨论，计算出其他角的度数，根据特征值k的定义计算即可．
【详解】当∠A为顶角时，等腰三角形的两底角为，∴特征值k=；
当∠A为底角时，等腰三角形的顶角为，∴特征值k=．
故答案为：或
2.
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等的性质．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
已知给出了一个底角为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解本题．
【详解】解：因为其底角为，所以其顶角．
故答案为：．
3.D
【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可.
【详解】解：情况1：如图：
∵，
∴，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15 ，
底角与顶角的度数比为：15 :150 =1:10；
情况2：如图：
∵，CA=CB，
∴∠B=∠CAB=，
底角与顶角的度数比为：75 :30 =5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D.
4.72或
【分析】设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，根据差半角三角形的定义得出方程，由此解方程即可求得答案．
【详解】解：设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，
当α°－（180°－2α°）＝α°时
解得：α＝72，
当（180°－2α°）－α＝α°时
解得：α＝，
故答案为：72或．
【题型3 与中线有关的讨论】
1.A
【分析】结合图形可知两周长的差就是腰长与底边的差的绝对值，因为腰长与底边的大小不明确，所以分腰长大于底边和腰长小于底边两种情况讨论．
【详解】解：如图，由题意可知，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差的绝对值．

分两种情况：
（1）若，则，
又因为，
联立方程组并求解得：，，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若，则，
又因为，
联立方程组并求解得：，，
6、6、12三边不能够组成三角形；
因此三角形的各边长为10、10、4．
故选：A．
2.6或8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为12和9两部分，列方程解得即可．
【详解】解：设腰长为x，底边长为y，则
或，
解得：或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．
故答案为：6或8
3.9cm或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的腰长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm.
根据题意得 ，或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的腰长为18cm或12cm.
故答案为：18cm或12cm．
4.或
【分析】先证明再分三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，∵为等边三角形，是中线，
∴
∵为等腰三角形，
当 则
∴
当 则
∴
当 此时不在边上，舍去，
综上：为或
故答案为：或
【题型4 与高有关的讨论】
1.D
【分析】分，和，两种情况进行讨论，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求解，
【详解】解：当时，
∵，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
故选：D．
2.D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据求出底角的度数，当时，求出底角．
【详解】解：①当时，如图，
则；

∵为边上的高，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
而这四个角和为，
∴底角为；
②当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
③当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
故选：D．
3.C
【分析】分两种情况：当高在等腰三角形内时；当高在等腰三角形外时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当高在等腰三角形内时，如图：

在中，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当高在等腰三角形外时，如图：

在中，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于，
故选：C
4.D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当在三角形的内部，②在三角形的外部以，③边为等腰三角形的底边三种情况．
【详解】解：如图，分三种情况：①在三角形的内部，
延长到点，使，
∵，
∴，
又
∴
∴,,
又，
∴即是等边三角形，
∴
∴
∵
∴；
②在三角形的外部，
同理可得
∵,
∴
又，
∴；
③边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为的中点，
由题意知，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的度数为或或，
故选：D．
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】
1.74或16
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
分是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：分两种情况：
①如果是锐角三角形，如图1，
，
，
，
，
，
；
②如果是钝角三角形，如图2，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：74或16．
2.或
【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，当点E，F在直线的同旁时；当点E，F在直线的两旁时，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵线段的垂直平分线上有两点E，F，直线交于点C，
∴，
∵，，
∴，
如图1，当点E，F在直线的同旁时，；
如图2，当点E，F在直线的两旁时，，
综上所述，的度数为或，

3.或
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是运用角的和差关系：或．分两种情况讨论：为锐角，为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出，，得到，，再根据关系式或，即可求得的度数．
【详解】解：①如图，当为锐角时，
是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，，
，且，
，
即，
解得．
②如图，当为钝角时，
是线段的垂直平分线，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为：或
4.或或
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可．
【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上，
∵点D在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或．
故答案为；或或．
【题型6 与动点有关的讨论】
1.1或3
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
2.4或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
由题意知，当时，；当时，，，由是等腰三角形，可知当时，，即，计算求解即可；当时，证明是等边三角形，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，；
当时，，
，
∵是等腰三角形，
∴当时，，即，
解得，，
当时，是等腰三角形，
∴是等边三角形，
∴，即，
解得，，
综上所述，的值为4或，
故答案为：4或．
3.，或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质；
分情况讨论：当是顶角时；当是底角，是顶角时；当、都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：当是顶角时，，
∴；
当是底角，是顶角时，
∴；
当、都是底角时，
∴；
综上，的度数可能是，或，
故答案为：，或．
4.或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定；利用等腰三角形的性质可分为：和 两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
【详解】①当 是以为底边的等腰三角形时∶ 如图所示，

则，
，
(秒)；
②当 是以为底边的等腰三角形时∶ 如图所示，

则
(秒)．
故答案为：或．
【题型7 与三角形形状有关的讨论】
1.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，则腰上的高相等，分两种情况讨论：这两个三角形都是锐角或钝角三角形；两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，分别求解即可获得答案．
【详解】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，
∴腰上的高相等，
可分两种情况讨论：
①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图，
则有，，，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
，
即有；
此时两个等腰三角形全等，不符合题意；
②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图，
则有，，，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
∴，
此时两个等腰三角形不全等，符合题意．
故答案为：．
2.B
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积等有关知识，先求出，再结合含的直角三角形等定理，得出结果；当三角形为钝角三角形时，可求得顶角的邻补角为，可求得其顶角，综合得出结果．
【解答】
解：当该三角形为锐角三角形时，如图，
过点作于，
，
，

在中，，
，即的顶角为；
当该三角形为钝角三角形时，如图，
过点作于，
，
，

在中，，
，
，即的顶角为；
综上可知该三角形的顶角为或，
故选B
3.C
【分析】
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论．作出图形，然后分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论求解．
【解答】
解：如图，腰长，高线，
，即顶角是，
如图，腰长，高线，
，
顶角，
所以，此三角形的顶角是或．
故选：．
4.D
【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用，根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到与的关系，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
【解答】
解：当是等腰钝角三角形时，
，
，
设，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当是等腰直角三角形时，
，
，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【题型8 与构造三角形有关的讨论】
1.或或
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：如图，
∵，平分，
∴，
①当E在时，，
∵，
∴，
；
②当E在点时，，
则
；
③当E在时，，
则
；
故答案为：或或．
2.或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
是等腰三角形，分情况讨论：
①时，，
∴，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②时，，
∴；
③时，，
∴，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
3.或或或
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，分情况画出图形进行解答即可．
【详解】解：如图1所示：

当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
当时， ；
如图2所示：

当时，
∵，
∴，
∴，
当时，；
如图3所示：

当时，
∵，
∴，
∴，
当时，．
综上所述，的度数可能是或或或
故答案为：或或或．
4.或或
【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用．
根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可．
【解答】解：∵是特异三角形，
∴和都是等腰三角形，
①当时，则，
若，则，
此时；
由于，则与不成立；
②当，则，所以，
若，则，
此时，不合题意舍去；
若，则，此时；
③当时，则，
若，则，此时；
由于，则与不成立；
④当，，
设，则，
∵，
∴，
∴，解得，
∴；
综上所述，的度数为或或．
故答案为或或．