北师大版八年级数学下册 1.2直角三角形复习题--含30°的直角三角形的性质 （含解析）

1.2直角三角形复习题--含30°的直角三角形的性质
【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】
1.如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
2.在等边三角形，若边上的高与边所夹得角为，且，则的周长为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．4.5
3.如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4.如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ．
【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】
1.如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °．
2.如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3.如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ．
4.已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】
1.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．6
3.如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积．
【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】
1.如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　）
A．4 B．2 C．5 D．3
3.如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ．
4.如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值( )
A．6 B．4 C．3 D．2
【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】
1.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
2.如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．

3.如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．求线段长度的最小值（ ）
A． B． C．2 D．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】
1.在中，，，平分，交于点D．
(1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
2.如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
3.如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点．
(1)若，求的长度；
(2)连接，请判断的形状，并说明理由．
4.如图，已知在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，连接，相交于点，过点作，为垂足，求证：．
【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】
1.如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2.如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．14
3.如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ．
4.如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为 ．
【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】
1.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为．
(1)的度数为 °；
(2)求的周长．
2.如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．

3.如图，是绕点旋转后得到的，已知，，，则的长为 ．
4.如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：为直角三角形．
淇淇：当时，．
珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确
【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
1.如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形．
2.如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
(1)当为何值时，为等边三角形？
(2)当为何值时，为直角三角形？
3.已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．

(1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm．
(2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm．
(3)当t为何值时，是直角三角形？
4.如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：

(1)用含t的代数式表述的长是______．
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】
1.如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ．
2.某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，．
(1)请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
(2)判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
3.如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
4.图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
参考答案
【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】
1.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
2.A
【分析】由30度角的性质可求出，然后由等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，

∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是等边三角形，
∴的周长为．
故选A．
3.A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．
根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长．
【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若，
∴在直角三角形中，，，，
∴，
又∵D为的中点，
∴，
∴等边三角形的边长为12，
故选：A．
4.7.8
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：
【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】
1.
【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数．
【详解】过点作的垂线，垂足为，如图：
∵点恰好是线段中点，，，
∴，，
∴，
∵两块等腰直角三角板完全相同，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
2.D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可．
【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：

则，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，
∴当点E在点F时，最小，
∵，，
∴，
即此时．
故选：D．
3.
【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于，
∵点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
4.A
【分析】根据题意分两种情况：落在内部和落在外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）当落在内部时，
①如图，当时，

∵，，
∴，即．
②如图，当时，

∵，，
∴．
∴，
∴
③如图，当时，

∵，，
∴．
∴．
（2）当落在外部时，
④当时，此时不存在．
⑤如图，当时，

∵，，
∴．
∴，则．
⑥如图，当时，

∵，，
∴．
∴，则，即．
综上，的度数可能为，，，，，共5种可能，
故选：A．
【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】
1.D
【分析】先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
2.A
【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，由三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为；
故选A．
3.B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出，得出， 从而，然后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
4.解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
，
是等腰三角形，，
如图，过作于，则，
，
又，
，
．
【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】
1.B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，
和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
是直线的动点，
在直线上运动，
的最小值为，
，
．
故选：B
2.D
【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值．
【详解】解∶∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
过作于点，

∵，平分，
∴，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为3，
故选：C．
3.
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【详解】解：如图，
取的中点，连接，
线段绕点逆时针旋转得到，
，
又是等边三角形，
，
即，
，
是等边三角形的高，
，
，
又旋转到，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
，
，
．
线段长度的最小值是．
故答案为：
4.D
【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作于，作于，证明，推出，再证明，推出，得到当时有最小值，即有最小值，由，，求出．
【详解】解：作于，作于，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故选：D．
【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】
1.
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
∵中，
∴，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．由等边三角形的性质求得的长，再由含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
故答案为：．
3.A
【分析】如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，推出；由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵点M的坐标为，
∴，
由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，
∴，
故选A．
4.
【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．
首先根据点的坐标及等边三角形的性质得进而得 再根据直角三角形的性质得 点的纵坐标为 ，依次类推得到点的纵坐标为 即可解题．
【详解】∵点的坐标是，是等边三角形，
，
，
轴,
∴在中, 则 ，
∴点的纵坐标为 ，
同理： ...，以此类推， ，
∴点的纵坐标为 点 的纵坐标为点 的纵坐标为 ……，以此类推，点的纵坐标为 ，
∴点 的纵坐标为
故答案为： ．
【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】
1.（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线；
（2）证明：过D点作于E点，连接，
∵，平分，，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴．
2.（1）解： 点是边的中点，，
，，
，
，
，
设，
∵，
，
，
，
，
，
，解得，
；
（2）解：，，
，
，
．
3.（1）解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
，
．
（2）是等边三角形，理由如下：
连接，
垂直平分，
∴D为AB中点，
，
在中，，
，
，
又，
∴是等边三角形．
4.解：为等边三角形．
，，
在和中，
，
，
，
为外角，
，
，
，
．
【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】
1.B
【分析】根据折叠的性质可得，，，即，再由角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．
【详解】解：由折叠可知，，，
，
在中，，，，
，
，
故选：．
2.C
【分析】
本题主要考查了折叠的性质，含角的直角三角形的直角．理解直角三角形中角所对边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：根据折叠的性质，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
3.
【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，根据为的一半确定出，进而得到等于的一半，求出的长，即为的长．
【详解】解：由题意得：，即，
且垂直平分，
，，
在中，，
，
，
，，
则，
故答案为：．
4.4
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】
1.（1）解：∵在中，，，
∴，
根据旋转可知：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转角度至的位置，
∴，，
∴是等边三角形，
∴的周长是．
2.4
【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
将绕点旋转得到，
，
故答案为：4
3.4
【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解．
【详解】解：在中，，，
又∵是绕点旋转后得到的，
∴，且，，三点共线，
∴．
故答案为：．
4.B
【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后由含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题．
【详解】解：由旋转可得：
∵
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴为直角三角形，故嘉嘉正确；
∵在等边中，，
当时，，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故淇淇正确；
当时，
∴
∴
∴
∴
∵
由旋转性质可得：，
∴是等边三角形
∴
∴，故珍珍错误；
故选：B．
【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
1.1或2
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：； ．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可．
【详解】解：在，
根据题意得：，，
若是直角三角形，则或，
当时，，
即，
∴，
当时，，
∴，
∴．
∴当或时，是直角三角形．
故答案为：1或2．
2.（1）解： ，
．
,
∵动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为
；
当时，为等边三角形．
即
．
即当时，为等边三角形;
（2）解：若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即
即当或时，为直角三角形．
3.（1）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，
当动点P、Q同时运动时，则，；
故答案为：1，2；
（2）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，
∴当动点P、Q同时运动时，
∴．
故答案为：，t ；
（3）解：在中，，
若是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点
①若点P为直角顶点，
∵，
∴，
∴，即，解得；
②若点Q是直角顶点，
∵，
∴，
∴，即，解得．
答：当或时，是直角三角形．

4.（1）解：由题意得：，
∵．
∴，
故答案为：；
（2）解：①若，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②若，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，当或时，是直角三角形．
【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】
1.解：如图，连接，过点D作于点E．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴在中，．
故答案为：40．
2.（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即旋转木马E处到出口B处的距离为35m；
（2）入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下：
由题意知，
∴ ，
∵ ，
∴在和中，
，
∴，
∴，
即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
3.B
【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
4.解：如图，过点A作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴，
同理可得，，
又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为，
∴
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．