北师大版八年级数学下册1.4 角平分线小节 复习题 （含解析）

1.4 角平分线小节复习题
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
1.如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
2.如图，是的角平分线，，则 ．
3.如图，在中，平分，为高，的面积为6，，则的长为 ．
4.如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
1.如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
4.如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
1.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，、分别是中、的平分线，，，，垂足分别为、、，则、、长度的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
3.如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
4.如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）

A． B． C． D．无法确定
【题型4 由角平分线的性质进行证明】
1.如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
2.如图，在中，，，，，垂足分别为E、F．求证：．
3.如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
4.有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．

(1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论．
(2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：．
【题型5 证明是角平分线】
1.如图，于于和交于D，且，求证：平分．

2.如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．

3.已知：如图，于点，于点，和交于点，，．求证：点在的平分线上．
4.如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：平分．
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】
1.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线于点M，连接．若，则的大小为（ ）
A．48° B．52° C．56° D．64°
2.已知点P到两边的距离相等，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
4.如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【题型7 尺规作角平分线】
1.在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2.如图，在直角中，，

(1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的面积．
3.尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
4.如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】
1.如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
2.已知：如图，的外角和的平分线相交于点，
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若，求的大小．
3.如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，则的面积．
4.如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：．
【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线……
请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
1.如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：
①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④．
其中一定正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
3.如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4.如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【题型10 角平分线的实际应用】
1.如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
2.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
3.校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
4.直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作法）
参考答案
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
1.2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案．
【详解】解：在中，于E，于F，为的平分线，
，
的面积是，
，即，
，
，
故答案为：．
2.6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可．
【详解】解：过点作于点，于点，如图所示，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
3.3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形．
延长，过点A作于点F，易得，则，进而推出，，则，通过证明，得出，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长，过点A作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
故答案为：3．
4.
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G，
为中点，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
同理可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案：．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
1.B
【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于E，于F，连接，
∵O为与的平分线的交点，，
∴，
∴的面积的面积的面积的面积
，
故选：B．
2.C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】作于，于，
∵平分，
∴，
∴，
设的面积为，则，
∵为的中点，
∴，
∵的面积比的面积大，
∴的面积比的面积大，
∴，
∴，
∴
故选：．
3.A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
4.C
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记
∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
1.C
【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．
根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：点O是三条角平分线的交点，
和和的高相等，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，设高为h
，，
由的三边关系得：，
，
故选：C．
2.B
【分析】此题考查了角平分线的性质，由平分，，，得出，同理可得即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
故选：．
3.A
【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，
∴，
∵D在上，
∴，
∴．
故选：A．
4.A
【分析】作，垂足为D，交延长线于点E，再根据角平分线的性质得出，证明，得出即可．
【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，

∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．
【题型4 由角平分线的性质进行证明】
1.证明：如图所示，作于点，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
2.解：∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
3.（1）证明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵，
∴
平分，，
4.（1）猜想：，（垂直平分），证明如下：
如图（1），，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，即．
【题型5 证明是角平分线】
1.证明：∵于于E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
2.解：点在的平分线上．
理由：过点分别向，作垂线，
，，，，
，
点是在的平分线上．
3.证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上．
4.（1），
，即，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
又，，
，
．
（3）过B分别作，垂足分别为P，Q，

∵，
∴，
∴，
∴B点在的平分线上，
即平分．
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】
1.B
【分析】设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点P作，垂足为D，根据题意，得到，从而判定平分，得到，根据直尺的对边平行，得到，结合判断即可．
【详解】如图，设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，
过点P作，垂足为D，
所以，
所以平分，
所以，
因为直尺的对边平行，
所以，
所以．
故选B．
2.D
【分析】此题考查角平分线判定定理，由题意可知平分，即可得到解题．
【详解】解：∵点P到两边的距离相等，
∴平分，
∴，
故选D．
3.
【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
【题型7 尺规作角平分线】
1.C
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：①是尺规作图作角的平分线，故正确；
②作的是的垂直平分线，得到，故错误；
③作图可以得到平分，故正确；
④作图可以得到，故正确，
故选：C.
2.（1）解：如图所示：点P即为所求：

（2）解：作，如图所示：

由（1）可得，平分，
∵
的面积为：
3.解：如图，点P即为所求．
4.如图，点即为所求；
作的角平分线，
，
，
，
，
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】
1.（1）证明：如图，过点E作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的面积为9．
2.（1）证明：作于，于，于，
∵平分，，，
∴，
同理，，
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上；
（2）解：∵为两外角的平分线，，
∴，，
由三角形内角和定理得：
．
3.（1）解：，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图：过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分．
（3）解：，，，
，
即，解得，
，
．
4.解：[尝试探究]，，
如图， 过点O作于点E，于点F，连接．
∵的平分线与的平分线交于点O，
∴．
∴是的平分线，
在与中，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
[类比延伸]
解∶，
理由∶过O作于E，于F，于M，于N，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，，，
∴，，
∴．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
1.B
【分析】由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，②正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴，①正确；
作于G，于H，如图所示：
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
2.D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过P作于M，于N，于S，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∵；故②不正确；
∵，平分，
∴垂直平分，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故④不正确．
本题正确的有：①③，
故选：D．
3.D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论．
【详解】
解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正确．
在和中，
，，，
，
，故③正确．
的角平分线、相交于点P，
点P到、的距离相等，点P到、的距离相等，
点P到、的距离相等，
点P在的平分线上，
平分，故④正确．
故选：D．
4.C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明，可得①②正确，根据全等推导出是的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可．
【详解】解：设、相交于点，过点作，垂足为，作，垂足为，

，
，即，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
平分，
，
，
，故④正确；
假设③正确，则一定有，又，则会有，
，，
，则，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．
【题型10 角平分线的实际应用】
1.解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作．
2.解：如图所示，点P为小亭中心的位置．
3.解：分别作的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
4.解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
∴满足条件的点P有四个，如图所示：
．