北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形复习题---常用作辅助线方法（含解析）

1.1 等腰三角形复习题---常用作辅助线方法
【题型1 作中线构造三线合一模型】
1.已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点，
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
2.如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是( )
A. B. C. D.
3.如图，中，，平分，且求证：．
4.如图，四边形中，，平分，，求证：．
【题型2 作垂线构造等腰三角形】
1.如图，在中，平分，是上一点，，且．

(1)如果，则的度数为
(2)求证：．
2.如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．
(1)若，垂足为，求证：；
(2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD = 2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．
4.在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点．
(1)如图，当点为线段上的任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
(2)如图，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明；
(3)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系．
【题型3 构造等腰（直角）三角形】
1.如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积为________．
3.如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为 ．
4.如图，在中，，、为内的两点，平分，，若，，则的长为_______；
如图，，，则的度数为________．
【题型4 作平行线构造等腰三角形】
1.如图，是边长为2的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（　　）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
2.如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于
点D．

（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
3.在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F．
(1)当点D在线段上时，如图所示，求证：．
(2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？
4.【问题提出】
（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长．
【题型5 倍长中线构造等腰三角形】
1.如图，点是的中点，点在上，且求证：．
2.如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：．
3.如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______．
4.如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则( )
A. B. C. D.
【题型6 截长补短构造等腰三角形】
1.在中，于点，平分，，，则______．
2.如图，已知平分的外角，为上一点，．
如图，求证：；
判断的形状并证明；
如图，过点作于点，若，，求线段的长．
3.已知在中，，平分交于点，点在线段上点不与点，重合，且．
如图，若，且，则 ， ．
如图，求证：；若，且，求的度数．
4.如图，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明．
【题型7 旋转构造等腰三角形】
1.如图，在等腰直角中，，，、为斜边上的点，，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
2.如图，中，，是内一点，连接、、，，求证．
3.如图，在中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值．
4.如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则_______________
参考答案
【题型1 作中线构造三线合一模型】
1.（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
2.C
【分析】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，四边形内角和定理，等腰三角形的判定与性质有关知识，如图，取的中点，连接，想办法证明，推出进而可解决问题．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．
3.证明：如图，取的中点，连接，则．
，．
平分，．
在和中，
．
．
，，，
．
．
又，
．
，
．
4.解：如图，取中点连接，
，
是等腰三角形，
垂直且平分，
，
，
，
是角平分线，
在和中，
，
，
，
垂直，
，
．
【题型2 作垂线构造等腰三角形】
1.（1）解：，平分，
，
，
，
是的一个外角，
；
故答案为：
（2）证明：过点作于点，

平分，，
，
在和中，
，
（全等三角形的对应边相等），
，，
，
．
2.（1）证明：如图1，，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
理由：如图2，作交的延长线于点，则，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
3.解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，
∴∠A =∠CBA = 45°，
∵AD = AC，
∴∠ACD = 67.5°，
∴∠BCD =90°－∠ACD = 22.5°；
（2）作AH⊥CD于H，如图：
∵BE⊥直线CD于E，AD = AC，
∴CD = 2CH，∠BEC =∠AHC = 90°，
∵∠BCE +∠DCA = ∠HAC +∠DCA = 90°，
∴∠BCE =∠HAC，
在△CBE与△ACH中，
∴△CBE≌△ACH（AAS），
∴CH = BE，即CD = 2CH = 2BE；
（3）如图，
在Rt△ACB中，∵AO = OB，
∴AB = 2OC，
∵BD = AB－AD，AB = 2OC，AD = AC = BC，
∴BD =2OC－BC．
4.（1）解：结论：．
理由如下：过作于，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）依题意补全图形，结论：，
理由如下：
过作交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）．
如图，过作交的延长线于，
同理可证，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型3 构造等腰（直角）三角形】
1.C
【解析】解：延长交于点设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故选：．
2.
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出是解决问题的关键．延长交于，由证明≌，得出，得出的面积的面积，的面积的面积，即可得出结果．
【解答】
解：延长交于，如图所示：
平分，垂直于，
，，
在和中，
≌，
，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
故答案为．
3.
如图，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，为上的高，
是的垂直平分线，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
．
解：延长交于，延长交于，
，
为等边三角形，
，，
又，
，
，平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：延长到，使，连接，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
又，，
，
在和中，
≌，
．
故答案为：．
【题型4 作平行线构造等腰三角形】
1.C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过作的平行线交于，通过证明，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，如图所示：

∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
在中和中，
，
∴，
∴，
∵于，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2.
证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
∵在△PDF和△QDC中，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；

（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，
∴DE=1．
3.（1）证明：过点D作，交于点G．

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，当点D在线段上时，过点E作，交延长线于O，点D作，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
由（1）得：
∴，
∴，
∵，
∴；
当点D在的延长线上时，过点E作交的延长线于点O，过点D作，如图，

同理可证，，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的长为1或3．
4.（1）证明：∵，，
∴，，
，
∵点F是的中点，
∴，
，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：分别延长与的延长线交于点G．
∵，
∴，，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接，
∵点E是的中点，，
∴，
∵，，
∴，，，
，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
，，，
∴，
∴．
【题型5 倍长中线构造等腰三角形】
1.证明：延长到，使，连接，
是的中点，
，
在和中
，
≌．
，．
，
．
，
又，
．
2.证明：如图，延长至H，使得，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴．
3.
【解析】解：延长到，使得，连接，如图所示：
，
是等腰三角形，
，
过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
4.B
解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
【题型6 截长补短构造等腰三角形】
1.
解：在上截取，连接，
，
，
即，
设，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2.解：证明：如图，设交于点．
，，
又，，
结论：是等腰三角形．
理由：在射线上截取，连接．
平分，
．
在和中，
BA=BH,∠ABD=∠HBD,BD=BD,
≌，
，．
，
，
，即为等腰三角形；
如图，作于点．
平分，，，
．
在和中，
≌，
．
在和中，
≌，
，
．
3.(1)54°;99°
(2)①如图，在CB上截取CF，使得FC＝AC，连接EF．
因为CD平分∠ACB，
所以∠1＝∠2．
在△ACE和△FCE中，因为AC＝FC，∠1＝∠2，EC＝EC，
所以△ACE≌△FCE，
所以∠3＝∠4，AE＝FE．
因为∠4＝∠5+∠6，
所以∠3＝∠5+∠6．
因为∠3＝2∠6，
所以∠5＝∠6，
所以FB＝FE．
所以AE＝FB，
所以AE+AC＝FB+FC＝BC．
②如图，连接AF．
因为∠1＝∠2＝30°，
所以∠ACF＝∠1+∠2＝60°．
因为AC＝FC，
所以△ACF是等边三角形，
所以AF＝AC，∠FAC＝60°．
因为AC＝BE，
所以BE＝AF．
在△BFE和△AEF中，因为BF＝AE，FE＝EF，BE＝AF，
所以△BFE≌△AEF，
所以∠6＝∠7．
因为∠7+∠3＝60°，
所以∠6+∠3＝60°．
因为∠3＝2∠6，
所以∠6+2∠6＝60°，
所以∠6＝20°，即∠EBC＝20°.
4.
证明：在上截取，使得，连接，
，，
且，
；
在和中，
，
，，
，
，
，
，
．
【题型7 旋转构造等腰三角形】
1.D
【解析】解：，，
，
如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
由旋转的性质得，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
2.解：将顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接
，
，，
，
，
，
，
，
．
3.解：如图，逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
在中，，即，
则当点、三点共线时，，即，
即的最大值是．
4.
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可得，，，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后由勾股定理得出，求出、的长度，即可解决问题．
【解答】
解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
由旋转的性质得，，，，，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为．