北师大版八年级数学下册 1.2 直角三角形复习题--直角三角形全等的判定 （含解析）

1.2 直角三角形复习题--直角三角形全等的判定
【题型1 用HL证全等】
1．如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )．
A． B． C． D．
3．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
4．如图，于点C，，，连接，射线于点A，点P在线段上移动，点Q在射线上随着点P移动，且始终保持，当 时，才能使与全等．
5．如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
6．如图，，，于点E，于点F，求证：．
7．如图，，是上的一点，且，．求证：．

8．如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．
9．如图，、是的高，且，求证：

10．如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：．
【题型2 全等的性质和HL综合】
11．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且，
(1)若，，求的长．
(2)试说明与的关系．
12．在中，，在直线上方有一点D（点D不在直线上），，作直线于点E．
(1)在图1中自己完成画图，探索线段三者的数量关系并证明；
(2)如图2，点D在直线右面，交于点F，作交于N，若点N恰为的中点，求的值．
13．如图，D是的外角平分线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数．
14．如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)；
(2)．
15．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：．
16．如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由．
17．如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若．
(1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由．
(2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
18．完成下列各题
(1)如图1，，点在上，且，则的度数为______；
(2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．
19．已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，于，于．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：，
．
平分，，，
，．
在和中，
（ ）．
，，
．
21．与均为等婹直角三角形，．
(1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______．
(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论．
(3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系．
22．
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在中，，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段的数量关系是 ．

【拓展延伸】
（1）如图（2），在中，为钝角，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由；
（2）在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且．则线段与线段的数量关系为 （用含m的式子表示）．
23．如图1，在和中，，，．

(1)求证：．
(2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点．
①与有什么数量关系，请说明理由．
②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案．
24．如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
(1)当时，则______；
(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
25.已知和，其中，．

(1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分．
①求证；
②猜想，与之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系．
26．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　．
27．如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接．
(1)若，求的长；
(2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由．
28．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
29．在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：
(1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
(2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
(3)不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________．
30．已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN．
（1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论；
（2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论．
【题型1 用HL证全等】
1．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：还需要添加的条件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
根据作图过程可以证明，进而可得结论．
【详解】∵，
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴，
∴射线就是的平分线．
故选：C．
3．
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
故答案为：．
4．3或6
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键．根据即可解答．
【详解】解：，
，
，
∴当或时，都可以根据证明与全等；
故答案为：3或6．
5．证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
6．证明：，，
．
，，，
∴．
在和中，
．
7．∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
8．证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴．
9．证明：∵、是的高，
∴，
在和中，，
∴．
10．证明：，
，
，
为等腰直角三角形，
在和中，
【题型2 全等的性质和HL综合】
11.（1）解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
当点M在点E左边时，，
当点M在点E右边时，，
综上：或．
12.（1）解：．理由：
延长至R，使，连接．
∴．
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）解：连接，过C作，过C作，交延长线于Q．延长交于M．连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
13．如图，D是的外角平分线上的一点，．
（1）证明：如下图，过点作于点，作于点，
∴，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，即，
∴，
∴.
14．（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2），
，
于点，于点，
，
．
15．解：∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
16．解：，
证明：∵点在线段上，，
∴，
在中，
∴
∴，
又∵
∴
又，即
在中，
∴，
∴．
17．（1）解：．
理由：，，
，
，
，
即，
在和中，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：结论依然成立．
理由：，，
，
，
，
即，
在和中，，
，
，
在和中，
，
，
．
18．（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段．
②∵的面积为8，，，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为2．
19．（1）证明：∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：如图，点即为所求；
（2）证明：，
．
平分，，，
，
，．
在和中，
（）．
，
，，
，
．
故答案为：，， ，．
21．
（1）证明：∵和是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
（2）解：．证明如下：
同（1）可证，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点G作于点H，同（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
解：简单应用：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：；
拓展延伸：（1）．理由如下：
如图（2）中，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）在上取一点，使得，由（1）可知则．
过点作于．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
23．（1）证明：，
，
，
在和中
，
．
．
（2）①，理由如下：
连结，如图：

，，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
．
②由①得，
，，
在和中，
，
，
，
，
，即：，
，
，
，
点为的中点，
，
设，则，
，
即：，
，
．
24．（1）当时，如图：
由题意，得：，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：，
∴；
故答案为：20．
（2）①当时，如图

∵
∴，
∴；

②若，则，
在直角三角形中，，
∴
解得：；
综上所述：t的值16或5；
（3）∵，
∴，

①若P在C点的左侧，则，
∴．
又，，且，
∴，
∴，
∴，
则，
解得：；

②若P在C点的右侧，则，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
解得，
综上所述：或11．
25.已知和，其中，．

（1）证明：①∵平分，，
∴，．
②∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
（2）∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
（3）②的结论不成立，结论为：，理由如下：
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，而，
∴；
26．（1）解：，
，即，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，，
在与中，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：16．
27．（1）解：∵，，是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的长为6；
（2）解：，证明如下；
∵，
∴，
∴；
（3）解：不变化，，证明如下；
由题意知，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
28．解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法2：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
29.（1）证明：∵BP是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PC⊥BC，
∴PD＝PC，
在Rt△EPD与Rt△FPC中，
，
∴Rt△EPD≌Rt△FPC（HL）；
（2）解：∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴∠DPE＝∠CPF，
∴∠EPF＝∠DPC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DPC＝360° 90° 90° 45°＝135°，
∴∠EPF＝135°；
CP＝CF＋AE；理由如下：
∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴DE＝CF，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠APD＝∠A＝45°，
∴AD＝PD，
∴AD＝CP，
∵CP＝AD＝DE＋AE＝CF＋AE；
（3）解：①CF＋CP＝AE，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CP＋CF＝AD＋ED＝AE，
故答案为：CP＋CF＝AE；
②CF AE＝CP，理由如下：
由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，
∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠APD＝45°，AD＝PD，
∴CF AE＝DE AE＝AD＝CP，
故答案为：CF AE＝CP．
30．如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论；
（2）如图2，当点M、点N在边AB、AC（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
∵在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN，∠BDM=∠CDN，
∵∠MDN=60°，，
∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，
∴NC=BM=DM=MN，
∴MN=MB+NC；
（2）成立．理由如下：
延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ECD=∠MBD=90°，
∵在Rt△DCE和Rt△DBM中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴∠BDM=∠CDE，DE= DM，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC -∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴NE=NM，即CE+CN=NM，
∴BM+CN=NM；
（2）MN=CN -BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，连接DM，
同理可证明：Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴DE=DM，∠EDC=∠BDM，
∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=60°，
∴∠BDN+∠CDE=60°，
∴∠NDE=∠NDM=60°，
∵在△MDN和△EDN中，
=60°，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC -CE=NC -BM．