2024-2025学年浙江省台州山海协作体高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州山海协作体高二下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是( )
A. B. C. D.
2.若函数在处可导，则( )
A. B. C. D.
3.下列对函数求导运算正确的是．
A. B.
C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值
C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点
5.将本不同的书包括本物理书和本历史书平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是( )
A. B. C. D.
6.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等处景点。现甲、乙两位游客准备从处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下面表述不正确的为( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 从装有大小、形状都相同的个红球和个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D. 若随机变量服从二项分布，且最大，则
10.对于可以求导的函数，如果它的导函数也是可导函数，那么将的导函数记为如果有零点，则称其为的“驻点”；如果有零点，则称点为的“拐点”，某同学对三次函数和进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：( )
A. 在“驻点”处取得最值
B. 一定有“拐点”，但不一定有“驻点”
C. 若有个零点，则
D. 存在实数，，使得对于任意不相等的两实数，都有
11.某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字的骰子，规定：若掷得数字小于或等于，则前进步；若掷得数字大于，则前进步每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.数学竞赛中，某校有共位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种
14.设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用五个数字，问：
可以组成多少个无重复数字的四位密码？
可以组成多少个无重复数字的四位数？
可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
16.本小题分
已知二项式，若选条件 填写序号，
求展开式中含的项；
设，求展开式中奇次项的系数和．
请在：只有第项的二项式系数最大；第项与第项的二项式系数相等；所有二项式系数的和为
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从道题中任选道作答，答对道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
若这道题中甲同学能答对其中道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率．
决赛需要回答道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励元；若答对道题目则获得二等奖，奖励元；若答对道题目则获得三等奖，奖励元；若全部答错则没有奖励假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立．
记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值；
某班共有名学生进入了决赛，若这名同学获得总奖金的期望值不小于元，求此时的取值范围．
19.本小题分
若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
若，判断是否为上的“类函数”；
若为上的“类函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：从个数字任取个进行全排列，故有个；
首位不能为，则有个；
由题意，是偶数个位数必须是．
分种情况讨论：
在个位，十位必须比大，千位数字不能是且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有；
在个位，十位数字必须比大，千位数不能是且不能与个位和十位数字重复，百位剩下个里面选一个有种选法；
在个位，里面没有比大的数字，不存在这种可能则共有种情况．
16.解：选只有第项的二项式系数最大，则展开式中有项，；
选第项与第项的二项式系数相等，，所以
所有二项式系数的和为，，，
，，；
令得
令得，
相减得，所以．
17.解：当时，，则，
则，，
故曲线在点处的切线方程，
即为
，
当时，恒成立，无极值
当时，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
故在处取极小值，
则，
即，
令，
则恒成立，
故在上单调递增，又，
由，得，
故的取值范围是．
18.解：由已知的取值为，
，，
，，
，
所以的分布列为
甲进入决赛的概率为；
由题意得，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
可得的最大值为；
由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量，
则的可能取值为，
所以，，
，，
所以
，
可得，即，
整理得，
由，
得，
解得．

19.解：对于任意不同的，
有，所以，
，
所以是上的“类函数”
因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需，
，令，在单调递减，
所以，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，所以使，即，
即，
当时，，故在单调递增，
当时，，故在单调递减，
，故．

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