广东省广州市执信中学2025届高三下学期4月月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省广州市执信中学2025届高三下学期4月月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-27 08:55:59 | ||
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文档简介
广东省广州市执信中学2025届高三下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.若直线：与直线：平行，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知等差数列中，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，，若，则的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是( )
A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两独立
C. D.
10.已知函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 若，则
D. 若存在极大值点，且，其中，则
11.如图，在棱长为的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最大值为
C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ．
13.若，则实数的值为 ．
14.已知函数，有恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
若，求；
若依次成等差数列，求面积的最大值．
16.本小题分
已知函数，．
若，求曲线的斜率为的切线方程；
若不等式没有整数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在多面体中，为正三角形，平面，平面，平面，，，分别为与的重心．
求证：，且平面平面；
若，，直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
18.本小题分
已知双曲线的左，右顶点分别为，，过的右焦点的直线与的右支交于两点当与轴垂直时，．
求的方程；
直线，与直线的交点分别为，为的中点．
求的最小值；
证明：点关于直线对称的点在上
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
从集合中任意取出两个数列，记．
求随机变量的分布列，并证明：；
若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字”，“第二次产生数字”，且若，比较与的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由及正弦定理，得，
因为，所以，
由余弦定理得，代入得，
解得或舍
因为依次成等差数列，所以，
由余弦定理得，因为，
所以，
所以，且，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
16.当时，，
则，即，
令，则，
令，得，令，得，
所以，故有且仅有，，
此时，所以曲线的斜率为的切线方程为在处的切线方程，
该切线方程为．
由得，即，
所以没有整数解，
设，，
设，，所以单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，没有整数解，即没有整数解．
17.延长交于，延长交于，连接，
由，分别为与的重心，得，分别为对应线段的中点，
则，由平面，平面，平面，得，
则，点四点共面，由，，
得，则；
由平面，平面，得，
而为正三角形，即，又平面，
因此平面，而平面，则平面平面，
所以平面平面．
由，平面，得平面，而平面，
则，，而，则直线两两垂直，
以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
过作于，则，由平面，平面，
得平面平面，直线是在平面内的射影，
因此为直线与平面所成的角，，，
而，则，，又，则，连接，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以到平面的距离为．
18.对双曲线，令，得，
当与轴垂直时，．
由得，即，故，
，，
的方程为．
不合题意．
设，
联立得，，
，，解得，
，直线方程为：，故，同理，
．
当时，．
由，得，
，直线的方程为．
设点关于直线的对称点为，则
解得，，即．
，由点在直线上可得
点在直线上，故点关于直线对称的点在上
19.因为是项数列，当且仅当时，，
所以当和时，设数列的所有项的和为，
则
，所以数列的所有项的和为．
因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
因为，
所以，
由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.若直线：与直线：平行，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知等差数列中，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，，若，则的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是( )
A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两独立
C. D.
10.已知函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 若，则
D. 若存在极大值点，且，其中，则
11.如图，在棱长为的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最大值为
C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ．
13.若，则实数的值为 ．
14.已知函数，有恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
若，求；
若依次成等差数列，求面积的最大值．
16.本小题分
已知函数，．
若，求曲线的斜率为的切线方程；
若不等式没有整数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在多面体中，为正三角形，平面，平面，平面，，，分别为与的重心．
求证：，且平面平面；
若，，直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
18.本小题分
已知双曲线的左，右顶点分别为，，过的右焦点的直线与的右支交于两点当与轴垂直时，．
求的方程；
直线，与直线的交点分别为，为的中点．
求的最小值；
证明：点关于直线对称的点在上
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
从集合中任意取出两个数列，记．
求随机变量的分布列，并证明：；
若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字”，“第二次产生数字”，且若，比较与的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由及正弦定理，得，
因为，所以，
由余弦定理得，代入得，
解得或舍
因为依次成等差数列，所以，
由余弦定理得，因为，
所以，
所以，且，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
16.当时，，
则，即，
令，则，
令，得，令，得，
所以，故有且仅有，，
此时，所以曲线的斜率为的切线方程为在处的切线方程，
该切线方程为．
由得，即，
所以没有整数解，
设，，
设，，所以单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，没有整数解，即没有整数解．
17.延长交于，延长交于，连接，
由，分别为与的重心，得，分别为对应线段的中点，
则，由平面，平面，平面，得，
则，点四点共面，由，，
得，则；
由平面，平面，得，
而为正三角形，即，又平面，
因此平面，而平面，则平面平面，
所以平面平面．
由，平面，得平面，而平面，
则，，而，则直线两两垂直，
以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
过作于，则，由平面，平面，
得平面平面，直线是在平面内的射影，
因此为直线与平面所成的角，，，
而，则，，又，则，连接，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以到平面的距离为．
18.对双曲线，令，得，
当与轴垂直时，．
由得，即，故，
，，
的方程为．
不合题意．
设，
联立得，，
，，解得，
，直线方程为：，故，同理，
．
当时，．
由，得，
，直线的方程为．
设点关于直线的对称点为，则
解得，，即．
，由点在直线上可得
点在直线上，故点关于直线对称的点在上
19.因为是项数列，当且仅当时，，
所以当和时，设数列的所有项的和为，
则
，所以数列的所有项的和为．
因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
因为，
所以，
由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
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