2025年中考数学复习专题训练：不等式与不等式组（含解析）

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2025年中考数学复习专题训练：不等式与不等式组
一、单选题
1．已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知实数a，b，c满足，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．一元一次不等式组：的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．莲花血鸭是江西十大赣菜之一，为确保肉质鲜嫩、入味均匀，对鸭子的选择有特定要求．鸭子的推荐重量x（kg），要求不低于1kg，不高于1.5kg．下面用不等式表示这一范围正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的整数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
10．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作．当结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．若程序操作进行了一次就停止了，则输入的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
12．若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ．
13．2023年2月5日某市气象台播报该市2月5日气温是，这表示该市当天的最低气温是 ，最高气温是 ．设该市当天某一时刻气温为，则关于t的不等关系是 ．
14．若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ．
15．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则n的取值范围为 ．
16．分式方程的解不大于1，则的取值范围是 ．
17．关于，的二元一次方程组的解满足，则的范围为 ．
18．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
三、解答题
19．解下列一元一次不等式（组）：
(1)； (2)．
20．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
21．下面是小明同学解不等式的过程：
去分母，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化1，得第④步
(1)以上求解过程的第①步“去分母”的依据是__________，请指出错在第__________步；（填序号）
(2)请写出正确的求解过程．
22．关于x，y的方程组．
(1)若，求的值；
(2)若、均为非负数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
23．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元．
(1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？
(2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？
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参考答案
1．B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据点在坐标系中位置得关于a的不等式组，解不等式组求得a的范围，即可判断．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在数轴上表示为：
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出符合题意的的整数解是解此题的关键．
先求出方程组的解，根据方程组的解为整数得出，，，，，，根据不等式组有且仅有个整数解得出关于的不等式组的解集，从而求出符合题意的的整数解，求其和即可．
【详解】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
3．B
【分析】本题考查求一元一次不等式的正整数解．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．先求出不等式的解集，再确定正整数解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的正整数解为：，2，共2个；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式组的解集．根据等式的性质，可得，，根据解不等式组，可得，再根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴（无解，舍去）或，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点．不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
6．D
【分析】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确定不等式组解集的公共部分．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了不等式，
根据不低于1表示为“”，不高于1.5kg表示为“1.5”，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，
∴，
解得：，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是根据一元一次不等式组的整数解的个数得到的取值范围，再根据的取值范围，确定符合条件的整数的个数．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有且仅有个整数解，
不等式组的解集为，
，
满足条件的整数是，
满足条件的整数有个．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．
根据运行程序，第一次运算结果大于85，然后求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：
故选：D．
11．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
关于的一元一次不等式组的解集是，
，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的解，一元一次不等式的整数解，掌握相应的运算法则是关键．
首先分别解一元一次不等式组及分式方程，再根据一元一次不等式组有且最多有个偶数解及分式方程有整数解即可解答．
【详解】解：
由可得：；
由可得：；
即；
∵不等式组有且最多有个偶数解，
，
，
解得：，
故整数解为：，，
关于的分式方程有整数解，
将整理为：
解得：；
，
故
为的倍数，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
故所有符合条件的整数的和是；
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键．利用最低气温和最高气温即可表示出气温的变化范围．
【详解】解：，这表示该市当天的最低气温是，最高气温是．设该市当天某一时刻气温为，则关于t的不等关系是．
故答案为：；；．
14．1
【分析】本题综合考查不等式组的整数解问题及分式方程的解的情况，首先解不等式组，确定x的范围，找到恰好包含2个奇数解的条件，确定a的范围，解方程并确保解为非负数，同时排
除使分母为零的情况，得到a的限制条件，求两个条件的交集，得到所有满足条件的整数a，求和即可．
【详解】解：，整理得：，
则不等式组的解为，
不等式组有且只有2个奇数解，
，
，
对应的整数a有：，，0，1，2，3，
，解得：，
，
，
，即，
，
则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2，
，
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的解集得出关于的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的解集为可得答案．
【详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组的解集为，
∴．
故答案为：．
16．且
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0．
先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解不大于1，列出不等式，即可求解．
【详解】解：两边都乘以，得，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵，
∴，解得：，
∵该分式方程的解不大于1，
∴，解得：，
综上：a的取值范围是且．
故答案为：且．
17．
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式是解答本题的关键．
先根据已知的二元一次方程组求出，然后代入不等式求解即可；
【详解】解：
得
，
∵
∴
解不等式得．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组），掌握不等式的性质是关键．
（1）根据去括号，移项，合并同类项，不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质解一元一次方程①，②，得到解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
【详解】（1）解：，
去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
20．k的取值范围为
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．把两方程相减可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围．
【详解】解：，
方法一：②×2－①得，
将代入②，得，
解得，
∴
∵，
∴
解得，
即k的取值范围为．
方法二：①－②，得，
∵，
所以，解得
即k的取值范围为．
21．(1)不等式的基本性质；①④；
(2)．
【分析】此题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
（1）根据解不等式的步骤进行判断即可；
（2）根据解不等式的正确步骤解答即可．
【详解】（1）解：第①步“去分母”的依据是不等式的基本性质，错在第①④步；
故答案为：不等式的基本性质；①④；
（2）
去分母，得第①步
移项，得第②步
合并同类项，得第③步
系数化1，得第④步
22．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，
①②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得，
∵、均为非负数，
∴，，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，最小值为．
23．(1)科技类图书每本15元，文学类图书每本30元
(2)文学类图书最多能买186本
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
（1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据两种购买方案列出方程组求解即可；
（2）设文学类图书能买本，根据不等量关系列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元．
依题意，得
解得
答：科技类图书每本15元，文学类图书每本30元．
（2）解：设文学类图书能买本．
依题意，得
解得即．
又∵为整数
∴的最大值为186．
答：文学类图书最多能买186本