2025年中考数学复习专题训练：二次函数中平行四边形的存在性问题（含解析）

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2025年中考数学复习专题训练：二次函数中平行四边形的存在性问题
1．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标；
(3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由．
2．【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的最大值，并求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值；
(3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，．
(1)判断点是否在轴上，并说明理由；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
7．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”．
(1)如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________；
(2)若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________；
(3)如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，．
①求的值；
②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
8．如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)当的面积等于的面积的时，求的值；
(4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由．
10．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式．
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)若点M在抛物线上，在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值；
②若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点Q的坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
13．综合与探究
已知二次函数的图象经过的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，直线与抛物线交于A、B两点，其中点的坐标为，点在轴上．
(1)求m的值和该抛物线的解析式；
(2)若点为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若点为直线上的一个动点，直线与这条抛物线的对称轴的交点为D，轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接．

(1)求抛物线的表达式及线段的长；
(2)若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值；
(3)点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，．
(1)求直线的解析式．
(2)当的面积等于时，求的值．
(3)在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线（）与轴交于、两点．
(1)求抛物线表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系巾，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是抛物线的顶点，连接，，判断的形状，并求出面积；
(3)如图3，在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标；
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点Q，使得以点A，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q坐标．
21．如图，抛物线经过坐标轴上三点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，已知，抛物线交x轴于，两点，过点的直线交抛物线于，两点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求抛物线向左平移多少个单位时，与直线只有一个公共点？
(3)是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由？
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《2025年中考数学复习专题训练：二次函数中平行四边形的存在性问题》参考答案
1．(1)；；
(2)；
(3)M点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为点；
（3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，连接，

由对称性得，
∴，三点共线时，有最大值，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴，
当时，，
∴；
（3）解：∵点，，，

∴，
当为对角线时，点的坐标为；
当为对角线时，点的坐标为；
当为对角线时，点的坐标为；
综上，M点的坐标为或或．
2．(1)
(2)最大值为，
(3)存在，或或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，线段最值问题，平行四边形的性质．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；
（3）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【详解】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：，
（2）设点M的坐标是，则点，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，
这时点；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）抛物线的对称轴是直线，点，
设点，，
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，
∴
∴点；
②当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；
③当是对角线时，，解得：，
∴，
∴点；
综上所述，存或或，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
3．(1)
(2)存在，
(3)存在，点D的坐标为 或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由轴，则，而与相似，则或，然后用解直角三角形的方法进行求解；
（3）当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则，即可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：，
∵， ，
∴，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由：
当时，，
∴，
过点C作直线轴交抛物线于点R，设，
由知，，
则，即∠，
∵轴，则，
∵与相似，
则或；
①时，设于交于点S，
∵，
∴，
，
设，则，代入①，得
，
解得，（舍去），
∴，
则点；
②时，
延长交x轴于点H，则，
∵，
∴，
在中，过点H作的垂线交的延长线于点M，
∵，
设，则，
在等腰中，，
即，
解得：，
在中，，
即点，
由点C、H的坐标得，直线的表达式为：，
联立①③得：，
解得：（舍去）或，
则点
综上，点Q的坐标为：或；
（3）存在，理由：
设点D的坐标为，
根据点A、D的坐标，由待定系数法可求直线AD的表达式为，则点，
同理可得，直线BC的表达式为：，则点，
当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则，
即，
解得：或6，
即点或．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到一次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质，其中，分类求解是本题解题的关键．
4．(1)；
(2)点E的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
5．(1)，；
(2)，时，有最大值，最大值是；
(3)存在，点坐标为或或．
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标；
（）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；
（）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∵点的横坐标为，
∴轴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
如图，当时，四边形为平行四边形，
∴，
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
解得，（不符合，舍去），
∴点的横坐标为，
∴；
如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
同理可得；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
6．(1)点在轴上，理由见解析；
(2)；
(3)当点的坐标为时，点的坐标为或，当点的坐标为时，点的坐标为或．
【分析】（）连接，四边形是矩形，，，通过，求出，则，即与旋转角相同来得出在轴上的结论；
（）过点作轴于，由旋转的性质可得，，，，分别求出，，，然后代入解析式即可求解；
（）由矩形的面积为，则以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，由于点在抛物线上，则，然后解出方程即可求解．
【详解】（1）解：点在轴上，理由如下：
连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴点在轴上；
（2）解：过点作轴于，
由旋转的性质可得，，，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴将，，，代入得，
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（3）解：∵矩形的面积为，
∴以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，
∵，
∴边上的高为，
根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，，
当点的坐标为时，点的坐标为或，
当点的坐标为时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键．
7．(1)和；
(2)；
(3)①或；②或．
【分析】（1）首先判断出点P在直线上，然后结合图象求解即可；
（2）首先根据题意画出图象，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后代入求解即可；
（3）①根据题意得到，求出抛物线，然后由得到点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，然后分两种情况讨论：和，然后分别求出点B的坐标，然后代入求解即可；
②设，分两种情况讨论：和，然后分别求出点C的坐标，然后利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）∵当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”
∴
∴点
∴点P在直线上
∴如图所示，
∵矩形的顶点坐标分别是，，
∴当时，
∴点是矩形的“互为零点”；
当时，，解得
∴点是矩形的“互为零点”；
综上所述，矩形的“互为零点”的是和；
（2）如图所示，设点P在第二象限，过点P作轴
∵点为反比例函数图象上的“互为零点”，
∴点P在直线上
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴将代入得，
解得；
（3）①∵点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，
∴
∴
∴抛物线
∵
∴点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，
如图所示，当时，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴
∴将代入得，
解得；
如图所示，当时，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴
∴将代入得，
解得；
综上所述，的值为或；
②设，
当时，抛物线
∴当时，
∴
∵，，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴；
当时，抛物线
∴当时，
∴
∵，，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何综合，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是判断出点P在直线上．
8．(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)的值为；
(4)存在，点的坐标为或或或．
【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可；
（）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可；
（）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可；
（）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接，
∵点，代入关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段，
∴，，
∵，
∴当点与点重合时，，
此时，可知的值最小，
在中，的边为定值，
∴当的值最小时，则的周长最小，
由抛物线的解析式为，当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，
∴；
（3）解：如图，作轴于点，交于点，
∵，，
∴，
∵，且，
∴，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），，
∴的值为；
（4）解：存在，设，
当时，，
如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标，
∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
∴点，
∵，
∴，；
如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标，
∴，
整理得，
解得，，
∴，，
作轴于点，轴于点，轴于点，
则，，，，
∵，，，
∴，
∴，
同理
∴，，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
9．(1)
(2)4，
(3)存在，点Q的坐标为或或或．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将、代入可得：
，解得：，
所以抛物线解析式为．
（2）解：∵，
∴
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图：过P作轴交于点G，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为．
（3）解：∵，，
∴设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M，
∴M的横坐标为，则纵坐标为，即，
设，
如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
综上，点Q的坐标为或或或．
10．(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)，或，或，．
【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可；
（2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；
（3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，
因此可设抛物线的解析式为
将代入得，即
抛物线的解析式为；
（2）解：，
对称轴为直线，
如图2，当时，，则，
当时，，
，
∴，
，
，
∴，
因此点的坐标为或；
（3）解：存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图3，当平行四边形是平行四边形时，
此时，的横坐标为，
∴，
∴，，
当平行四边形是平行四边形时，同理，，
如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则，
点在抛物线上，
此时，，
综上所述，，或，或，．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想．
11．(1)
(2)3
(3)存在，点N的坐标为或或
【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果；
（2）可推出是直角三角形，进一步得出结果；
（3）先求出抛物线对称轴，在求出点D的坐标，设，分为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线和边两种情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：存在，点N的坐标为：
、，
抛物线的对称轴为，
点D和点C关于抛物线对称轴对称，，
，
设，
当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，则四边形为平行四边形，
，解得：，
此时，；
当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的边时，则四边形为平行四边形或四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时：
，
解得：，
此时，；
当四边形为平行四边形时，
，
解得：，
此时，点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或或，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
12．(1)；
(2)①；②；
(3)或或．
【分析】本题主要考查了二次函数及其图象的性质、平行四边形的分类、一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握平行四边形在坐标系中的点的坐标特点是解决问题的关键．
（1）将点A、C两点代入抛物线解析式，求得b,c的值即可解答；
（2）①作于D，交于E，连接，作于F，可求得，从而得出要使最大，只需的面积最大，设，从而表示出，从而得出当时，，从而完成解答；②设，根据列出方程求得t的值，从而完成解答；
（3）分、、三种情况，分别根据平行四边形和点坐标的关系得出N的横坐标，进而完成解答．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
∴；
（2）解：①如图1：作于D，交于E，连接，作于F，
∵，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴要使最大，只需的面积最大，
设，
∴,
∴，
∴当时，，
由，即，解得：
∴点P到直线AC距离的最大值为：
②∵抛物线的对称轴为直线：，
∴设，
由，解得：，
∴，
由得，，解得：，
∴；
（3）解：如图2，
当时，
∵，N的横坐标为：，
∴，
∴当时，，
∴，
当时（图中），
此时，
∴当时，，
∴，
当（图中），
此时，
∴当时，，
∴．
综上所述：或或．
13．(1)
(2)
(3)存在．或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）如图，过点P作轴于点H，交于点F，过点C作于点Q．求出直线的解析式，设，则，表示出，，，即可求解；
（3）设设，根据平行四边形对角线的性质，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，
．
二次函数的图象过点，，
，
解得，
此二次函数的解析式为．
（2）如图，过点P作轴于点H，交于点F，过点C作于点Q．
设直线的解析式为．
，，
，
解得，
直线的解析式为．
设，则．
，，．
．
，
当时，取得最大值．
把代入中，得．
．
（3）解：存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵二次函数的解析式为，，，
设，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得或（与点C重合，故舍去），
将代入得，
∴；
当为平行四边形的边时，
或，
解得或或（舍去）或（与点C重合，故舍去），
将代入得，
∴；
将代入得，
∴；
综上所述：点点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，二次函数最值，一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
14．(1)；抛物线解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式的方法，平行四边形的性质，解本题的关键是确定出函数解析式．
（1）根据点在直线上，求出直线解析式，再根据点，求出抛物线的解析式；
（2）根据点在直线上，表示出点，求出；
（3）由，只要即可，据此即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：的坐标为在直线上，
，
，
直线解析式为，
，
设抛物线解析式为，
点，在抛物线上，
，
，
抛物线解析式为；
（2）解：点在线段上，
，，
轴，交抛物线于，，
，
，；
（3）解：直线与这个二次函数图象的对称轴的交点为，
，
，
点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
或，
（舍），，，，
即：点的坐标为或或．
15．(1)抛物线的表达式为，，
(2)点坐标为或
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法抛物线的表达式，过点作轴于点D，根据勾股定理可得线段的长；
（2）先用待定系数法求出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，分两种情况：①当时，，可求，从而求得坐标，②当时，，同理可求坐标；
（3）设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
过点作轴于点D，

，
∴，，．
，
，．
在中，．
在中，．
∴．
（2）解：，
，
，
，，
设直线的函数解析式解析式为，将、代入得：
，解得，
直线的函数解析式解析式为，
过点的直线交线段于点，将三角形的面积分成的两部分，
过作轴于，过作轴于，分两种情况：
①当时，如图：

，
，
而，即，
，即，
在中，令得，
，
；
②当时，如图：

，
，
，
，即，
在中，令得，
，
；
综上所述，点坐标为或；
（3）解：点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：
①以、为对角线，此时中点与中点重合，
、，，
的中点为，，中点为，，
，解得，
，
②以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
③以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
综上所述，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解．
16．(1)；
(2)，面积最大为；
(3)存在，，或．
【分析】（）将的坐标代入抛物线即可求出抛物线的解析式； 将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式.
（）先求出直线的函数解析式是，设点的横坐标为，则的坐标分别为，，则，求出最大值即可求出的面积的最大值；
（）存在，设，，由，，然后分当以为对角线时，当以为对角线时，当以为对角线时三种情况分析即可；
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想．
【详解】（1）解：将，代入..，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
设直线的函数解析式是，
∴，解得：，
∴直线的函数解析式是，
设点的横坐标为，则的坐标分别为，，
∵点在点的上方，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，此时，
的面积的最大值为：；
（3）解：存在，理由：如图，
由抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
设，，
∵，，
当以为对角线时，
∴，解得：，，
∴；
当以为对角线时，
∴解得：，，
∴；
当以为对角线时，
∴，解得：，，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为，或．
17．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）根据抛物线解析式求得的坐标；用待定系数法求解，将点的坐标代入即可．
（2）先求出点坐标，再根据抛物线解析式设点的坐标，过点作轴的平行线，根据三角形面积求解．
（3）根据边作为平行四边形的边时，分别画出图形，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
当时，，当时，，
解得：
设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为；
（2）过点作轴的平行线交于点，如图所示：
设点的坐标为，则
的面积等于时，
即
解得：，
（3）存在，理由如下：
由（2）可得，则，则轴，
当是平行四边形的一条边时
如图所示：
、分别有三个点
设点
点的纵坐标为绝对值为
即
解得：（舍去），或，或
故点、、的横坐标分别为：，，
，
点的坐标为：或或；
即点的坐标为：或或；
综上所述，存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，与二次函数图像相结合的三角形面积的计算等，解题的关键是各知识点的综合应用．
18．(1)，
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答．
（3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答．
本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设二次函数为，
再把代入，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当，
∴，
结合图象，得出，
把，分别代入，
得，
∴，
则；
（2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∵，
∴
结合图象，
四边形的面积
；
（3）解：或或或或
过程如下：
依题意，设，
当为对角线时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
综上：或或或或．
19．(1)
(2)最大值为；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解；
（3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，，
∴，
过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示：
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
此时；
（3）解：存在，理由如下：
由题意可知：，设点，
当为对角线时，由中点坐标公式可得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
∴点D的坐标为或或；
综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．(1)
(2)为直角三角形，3
(3)
(4)点Q的坐标为，或
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点D的坐标，然后利用勾股定理的逆定理解题即可；
（3）先求得直线的解析式，设，过点P作轴，交于E，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值；
（4）根据题意，设，分三种情况讨论，分别以A，C，D，Q为平行四边形的顶点，根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）∵点，在抛物线上，
∴有解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）∵点D是抛物线的顶点，，
∴点D的坐标为．
∴，．
又∵．
∴．
∴为直角三角形．
．
（3）∵点，，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的表达式是．
设，如图，过点P作轴，交于E，
∴，得．
∴，
即．
由二次函数的性质，可得当时，有最大值，
此时，即可得此时点P的坐标为．

（4）存在．点Q的坐标为，或．
解法提示：
方法一：设点Q的坐标为，可分三种情况进行讨论．
①当以，为边时，
∵，，
∴直线的表达式为，．
过点D作的平行线．则．
∴，解得，（舍去）；
∴点Q坐标为；
②当以为对角线，为边时，
取中点F，则．
∴解得
∴点Q坐标为；
③当以为对角线，为边时，
取AD中点G，则．
∴解得
∴点Q坐标为．
综上所述，点Q的坐标为，或．
方法二：∵，，，
①点A先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度到点C，
令点先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点；
②点D先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度到点A，
令点先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点；
③点C先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度到点D，
令点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点；
综上所述，点Q的坐标为，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．(1)
(2)当时，的面积有最大值4，此时
(3)存在，
【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时；
（3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过坐标轴上三点，
将代入得，解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：设直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
直线的函数解析式为，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时；
（3）解：存在点，使得四边形是平行四边形．
，
抛物线的对称轴为直线，
由题知，，
设，
当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得，
．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设的横坐标分别为，则，进而求得，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点，联立方程，令，求得，即可求解；
（3）根据题意，求得，，则，设，，当为对角线，则，当为边时，则，解方程，即可求解，．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：，
消去，得，
设的横坐标分别为，则，
∵，
∴，
解得：
∴直线，
∵，
依题意，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点，
则方程有两个相等的实数根，
即，
∴，
解得：，
∴抛物线向左平移2个单位时，与直线只有一个公共点；
（3）解：依题意，
解得：或
∴，，则
设，
当为对角线时，
∴，即
解得：或
则或，
当为边时，，即
解得：或
则或，
综上所述，或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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