2025年中考数学复习专题训练：反比例函数中的面积问题专题提升训练（含解析）

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反比例函数中的面积问题专题提升训练--2025年中考数学提分必刷训练
1．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点．
(1)求的值；
(2)直线与相交于点，求的面积．
2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
3．如图，将等腰直角三角板的直角顶点C放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第一象限图像上．
(1)求反比例函数解析式；
(2)连接，求四边形的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点，连接．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求的面积．
5．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求，的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．
6．如图，点，分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
(1)求反比例函数与正比例函数的解析式；
(2)写出点的坐标，并求四边形的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点．点为一次函数上一点，过点B作x轴平行线，分别交y轴与反比例函数的图象于C，D两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，连接，求四边形的面积．
8．如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)直接写出当时，关于x的不等式的解集．
9．如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段．
(1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值．
(2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示）
10．综合与应用
【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接．
【基础尝试】
求反比例函数的表达式；
【深入探究】
若，求点的坐标；
如题图，若，求的面积．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)请结合图象直接写出不等式的解集．
(3)连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，求的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围．
(3)把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积．
13．在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．
(1)若点E是中点，求反比例函数的表达式；
(2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标；
(3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程．
14．如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、．
(1)用含的代数式表示点坐标；
(2)若与相似，求出此时的值．
(3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值．
15．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
17．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，点C的纵坐标为．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，P是双曲线段上的动点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交于点M、N，求的值及的最大值．
18．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
(1)求的度数及点的坐标；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过点B作轴交y轴于点P，求的面积；
(3)根据函数图象，直接写出时所对应的x的取值范围．
20．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
(1)求和双曲线的函数关系式；
(2)直接写出当时，不等式的解集；
(3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标．
21．如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于．
(1)求的值；
(2)如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式．
22．在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点作轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点是直线上一点，若满足时，求点的坐标．
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参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）设，则，根据矩形的性质可得，则，解方程求出a的值即可求出k的值；
（2）先求出直线解析式，进而求出点M的坐标，再根据三角形 面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：设，则，
两点在上，
，
，
（2）解：设直线的解析式为：
把代入得，，
∴直线的解析式为
在中，当时，，
．
．
2．(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（）先把点代入求出，然后再代入把点的坐标为代入即可求出；
（）过点作直线轴于，分别求出，的长，再利用即可求解．
【详解】（1）解∶将点代入得：，
∴点的坐标为，
将点代入，得；
（2）解：过点作直线轴于，
∵点的坐标为，
∴，
由一次函数可得，
当时，，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、三角形全等的判定与性质、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
（1）过点作轴于点，过点作轴于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据点的坐标可得，，从而可得，，然后将点代入计算即可得；
（2）先利用两点之间的距离公式可得的长，再根据四边形的面积等于求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和都在第一象限上，，轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
将点代入反比例函数得：，
所以反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴于点，
由（1）已得：，，，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
4．(1)；
(2)8
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积
（1）把D点的坐标代入即可求出反比例函数解析式，进而得出C的坐标，把C、D的坐标代入即可求出一次函数解析式
（2）先求出A点坐标，再根据列式计算即可
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴．
∴反比例函数的表达式为 -
∵点在上，
∴
∴C点坐标为，
把C，D两点的坐标代入
得，
解得：
∴一次函数的表达式为∶．
（2）解：在中，
当时，，
∴，
∴，
∴
5．(1)，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论；
（3）联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，
，，
，；
（2）解：，，
一次函数为，反比例函数解析式为，
解方程得，，，
，
不等式的解集为或；
（3）解：由（2）知点，
，
又，
，
点，
的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正比例函数与反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、直线与反比例函数图象的交点、三角形的面积公式，求得、点的坐标是本题的关键．
6．(1)，
(2)点的坐标为，
(3)或
【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，平行四边形的面积．
（1）根据点在利用待定系数法即可得出反比例函数与正比例函数的解析式；
（2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点的坐标为，再结合平行四边形的性质即可求解；
（3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：将代入，可得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，可得：，即
∴正比例函数的解析式为；
（2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点与点关于原点成中心对称，
∴点的坐标为，
∵轴于点， 轴于点，
∴且，，
∴四边形为平行四边形，则；
（3）解：∵，，
由函数图象可知，当或是直线在双曲线的下方，
∴不等式的解集为或．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与几何面积结合问题．
（1）根据题意先求出，继而求出反比例函数解析式；
（2）过点作于点E，再求出，再求出，继而求出，再利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过A，
∴，
，
反比例函数的图象经过，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作于点E，
，，
，
点在一次函数上，
；
轴，
，D点纵坐标为2，
点D在反比例函数上，
，
，
，
，
∴．
8．(1)， ，
(2)4
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，利用图象求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
（1）将，代入可得m和n，将或代入可得反比例函数解析式；
（2）设一次函数的图象与y轴交于点D，根据求解；
（3）一次函数的图象在反比例函数的图象下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，，
，，
，，
，
；
（2）解：如图，设一次函数的图象与y轴交于点D，
对于，
令，得；令，得；
，，
，
；
（3）解：由（1）知，，
由图可知，或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，
当时，关于x的不等式的解集为：或．
9．(1)
(2)
【分析】(1)如图，过点作轴于点，由旋转的性质证出为等边三角形，再由等边三角形的性质和反比例函数的性质证明即可得解；
(2)如图，过点作轴于点，先证出，再由勾股定理和反比例函数的性质证出，进而利用三角形的面积的和差即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
将绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，
点B在反比例函数的图象上，
，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
双曲线的对称轴为直线， ，
，关于直线对称，
，
，
，
，
，，
，都在反比例函数图象上，
，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
10．；；．
【分析】把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值即可；
过点，作轴，垂足为，交于点，根据矩形的性质可证，根据等角对等边可知，设，则，，根据勾股定理可得，解得，从而可得直线的解析式为，因为点是直线与反比例函数图象的交点，解方程组求出点的坐标即可；
过点作轴，垂足为，交的延长线于点，根据直角三角形的性质可证，又因为，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，设点的坐标为，可得，解方程求出的值，即可得点的坐标为，根据即可求出的面积．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
反比例函数表达式为；
解：如下图所示，过点，作轴，垂足为，交于点，
轴，
，
，
由题意可知，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
由图象可知，所在直线是正比例函数，
设所在直线的函数为，
将代入，
可得：，
解得，
所在直线的函数为，
联立构成方程组得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
点的坐标为
解：如下图所示，过点作轴，垂足为，交的延长线于点，
则，
，
，即，
轴，
，即，
，
，
，
，
，即，
设，则，，
由，得，，
，
整理得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，涉及到的知识点有：用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理．
11．(1)，；
(2)或；
(3)．
【分析】首先把代入，求出的值，可得反比例函数的解析式，再把代入，求出的值，从而得到点的坐标，再把点、的坐标代入一次函数的解析式，得到关于、的二元一次方程，解方程求出、的值，即可得到一次函数的解析式；
根据图象中一次函数与反比例函数的图象得到不等式的解集；
根据反比例函数图象的性质和点的坐标，可得点的坐标，过点作轴的平行线，交于点，把代入一次函数的解析式求出点的坐标，根据求出的面积．
【详解】（1）解：把代入，
得到：，
解得：，
反比例函数的表达式为；
把代入，
得到：，
解得：，
点的坐标为，
把，代入，
得到：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：由图象可知：在第三象限内当时，，
在第一象限内当时，，
综上所述，不等式的解集为：或；
（3）解：如下图所示，过点作轴的平行线，交于点，
反比例函数的图象关于原点对称，点的坐标为，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、用待定系数法求一次函数的解析式、用待定系数法求反比例函数的解析式、利用函数图象求不等式的解集，解决本题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象与性质确定不等式的解集和点的坐标．
12．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及一元二次方程，函数图象与不等式结合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点代入求出，即可知点坐标，再代入反比例函数中即可求解；
（2）当时，即，由，求出与的交点坐标，利用，即求的图象在的图象下方（包括重合）所对应的自变量的取值范围，即可求解；
（3）设直线的解析式为，代入，求出直线的解析式，再联立，求出点坐标，再利用即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得：，
点．
将点代入，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，即，
由，
解得：，，
即与的交点坐标为和，
观察图象，可知时，的取值范围是或，
故时，的取值范围是或；
（3）解：设直线的解析式为．
将点代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
由，得，
整理，得，
解得：，，
点的坐标为，
．
13．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可；
（2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，
∵点E是中点，
∴，
∴把代入得到，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M．
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵E在P右边，
∴，
∴此时；
②如图3中，当E在P左边时，作轴于M．
设，则，
同理可得，
解得：或，
∵E在P左边，
∴，
∴此时；
综上所述，当或时，的面积为面积的2倍．
（3）解：设，则，
∵当E在P点左边，
∴；
①如图，当，时，作于S点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当，时，作轴于T点，
则同①可证得，
∴，
∴，
∴；
③如图，当，时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，，
∴此时
综上，或或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键．
14．(1)
(2)
(3)不变；比值为
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定；
（1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解；
（2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得，勾股定理建立方程，即可求解；
（3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值．
【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上，
∴点的横坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴；
（2）∵轴，点纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
又∵点在上，
∴点的横坐标为
∴，
∵，，
∴是的中点，
∴
∵轴
∴，
∴当与相似，只有一种情况
∴，即
∴
解得：（负值舍去）
（3）解：设的坐标为，
由轴，可知点，点的横坐标相等，
则点的坐标为，的坐标为
∴，，
设直线的解析式为，将点，代入得，
所以直线的解析式为①，
设直线的解析式为，将点代入得，
所以直线的解析式为③，
设直线的坐标为，将，的坐标代入得，
，解得 ,
∴，
联立①②，得，解得：，
，
将③与联立得，，
解得：，，则，
所以
15．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解；
本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，
∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
16．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标；
（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积；
（3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
故将代入，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为：．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
联立，解得或，
∴另一个交点的坐标为．
（2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∵点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
又∵，
∴．
（3）解：过点作轴交轴于点，如图：
∵点的坐标为，
∴，，
对于一次函数，当时，，当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵轴上存在一点，使与相似，
∴有以下两种情况，
①当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
②当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
综上所述：点P的坐标是或．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
17．(1)
(2)
(3)的值为，的最大值是
【分析】（1）由点C的纵坐标为 ，可得，可求；由点C在双曲线 上，可得，可求，进而可得双曲线的函数表达式为；
（2）联立，，即，可求，即，由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得，，根据，计算求解即可；
（3）由勾股定理得，，设，则，，如图1，作轴于G，轴于H，证明，则，即，可求，同理，，可求，则，如图1，延长交x轴于E，延长交y轴于F，则，，同理，，，可求 ，，则，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵点C的纵坐标为 ，
∴，
解得，，
∴；
∵点C在双曲线 上，
∴，
解得，，
∴双曲线的函数表达式为；
（2）解：联立，，即，
解得，，
∴，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，，
∴
，
∴的面积为；
（3）解：由勾股定理得，，
设，
如图1，作轴于G，轴于H，
∵轴，轴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，
如图1，延长交x轴于E，延长交y轴于F，
∴，，
同理，，，
∴ ，，
∴，
∴的最大值是 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）如图，作于M，于， 于，证明，，可得，，，继而证明四边形是正方形，可得，则可求得，再设，由在上，利用待定系数法求得m的值即可得；
（2）设，，则，，可得，推出，可得，由，可得，继而根据，可得，由此可确定出的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作于，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
；
（2）解：设，，则，，
，
，
，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
，
（当时取等号），
的面积的最大值为．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程和不等式解决问题是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解；
（2）根据求解即可；
（3）的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方（或交点）部分所对应的x的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数上，
，
∴，
反比例函数表达式为，
点在反比例函数上，
，
∴，
，
点，点在一次函数上，
，
解得，，
一次函数的表达式为；
（2）解：过点B作轴交y轴于点P，，
，
，
；
（3）解：观察图象得，当或时，．
20．(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）把点代入，确定，分别代入，，计算即可．
（2）首先求出与相交时两横坐标分别为1，3，结合不等式，运用数形结合思想求解即可．
（3）分，计算即可．
【详解】（1）把点代入，得，
∴，
把分别代入，，得，
解得，
∴，．
（2）∵当时，由，
∴，
去分母得，
∴，
∴与相交时两横坐标分别为1，3，
根据图象可知不等式的解集是．
（3）∵直线，，
∴，
设，则；
∴，
∵把的面积分成两部分，
当时，得，
解得，
故；
当时，得，
解得，
故；
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键．
21．(1)1
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、角平分线的性质定理、勾股定理、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）首先根据角平分线的性质定理以及点坐标，可得，进而可得，然后将其代入，即可求得的值；
（2）根据题意作出图像，结合题意可得，进而可得，即可证明结论；
（3）首先求得是面积，进而可得，结合，求得，进而解得，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵直线平分，轴于，轴于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
将点代入，
可得，解得；
（2）如下图，
∵反比例函数的图像与分别交于点，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵，轴于，轴于，
∴，
∴，
∵四边形的面积是面积的，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即有，解得，
∴反比例函数的解析式为．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点，点，即可求出反比例函数的解析式；
（2）求出点C的坐标为，得到直线的解析式为，直线的解析式为，求出，则，即可求出；
（3）分三种情况：点在线段上时，点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上时，分别进行讨论解答即可．
【详解】（1）解：把，点代入得到，
，，
解得，，
∴点，点，
把代入得到，，解得，
∴
（2）∵，过点作轴于点，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
∴，
∴
（3）如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点P作轴交y轴于点E，则，
∴，
即，解得
∴此时
如图，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵点在直线上，直线的解析式为，
∴可设点的坐标为，
∵点，点，
∴，
∴
整理得到
解得（不合题意，舍去），
∴此时，
当点在线段的延长线上时，，不符合题意，
综上可知，点的坐标为或
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定是解题的关键．
答案第2页，共4页
答案第1页，共4页