平行线的性质和判定的综合应用 （含答案）2024-2025学年湘教版七年级数学下册

平行线的性质和判定的综合应用
平台中小学教育资源及组卷应用
类型一 判定两条直线平行
1.(2024陕西商洛商南期末)如图，已知点 B、E分别在AC、DF 上,连接 BD、CE,∠1+∠2=180°,∠ABD=∠CEF.试说明:AC∥DF.
2.(2024湖南娄底新化期中)如图,AE 与BD 相交于点F,∠B=∠C,∠CAE=∠DFE.试说明:AB∥CE.
3.(2024浙江金华金东期末)如图,∠1=∠2,∠A=∠C,试说明AE∥BC.
类型二 求角度
4.(2024湖南长沙开福月考)如图,∠AME=∠DNF,∠1=52°,MG平分∠BMF交 CD 于点 G.
(1)试说明:AB∥CD.
(2)求∠2的度数.
5.(2024湖南湘潭雨湖期末)如图，已知点 E、F在直线AB上,点 G 在线段CD上,ED 与 FG交于点H.∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:CE∥GF.
(2)若∠EHF = 80°,∠D = 30°,求 ∠AEM 的度数.
6.(2024安徽芜湖无为月考)如图,AB∥CD,∠A=∠BDC.
(1)试说明:AE∥BD.
(2)若∠AEC的平分线交 CD的延长线于点 F,且∠BDC = 140°,∠F = 22°,求 ∠CEF 的度数.
类型三 平行线的性质与判定在生活中的应用
7.情境题·现实生活为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车.图1是一辆共享单车的实物图，图2是其示意图，其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=55°,∠BAC=52°.当∠MAC等于多少度时,AM与 BC平行
8.(2024广东茂名高州期末)【阅读探究】如图1，已知AB∥CD,E、F分别是AB、CD上的点,点M在AB、CD 两平行线之间,∠AEM=45°,∠CFM=25°,求∠EMF的度数.
解:如图1,过点M作MN∥AB,
∵AB∥CD,∴MN∥AB∥CD,
∴∠EMN=∠AEM=45°,∠FMN=∠CFM=25°,
∴ ∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°.
从上面的推理过程，我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠AEM 和∠CFM“凑”在一起，得出∠EMF的度数，使问题得以解决.
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点 O 射出，在平面镜AB上的点 P处反射后，经过直线n上的点Q，我们称OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB.
(1)由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…,直接写出∠OPQ 和∠ORQ 的数量关系.
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.数学活动课上，老师把山路抽象成如图4所示的几何图形，并提出了一个问题：在图4中，AB∥CD,∠B=125°,∠PQC=65°,∠C=145°,求∠BPQ 的度数.请你帮忙解答一下吧.
1证明 ∵∠1+∠2=180°,∴ BD∥CE,∴∠ABD=∠C,∵∠ABD=∠CEF,∴∠C=∠CEF,∴AC∥DF.
2证明 ∵∠CAE=∠DFE,∴AC∥BD,∴∠C=∠BDE,∵∠B=∠C,∴∠B=∠BDE,∴AB∥CE.
3证明 ∵∠1=∠2,∴DC∥AB,∴∠EDC=∠A,∵∠A=∠C,∴∠EDC=∠C,∴AE∥BC.
4解析 (1)证明:∵∠DNF与∠CNM为对顶角,
∴∠DNF=∠CNM,∵∠AME=∠DNF,
∴∠AME=∠CNM,∴AB∥CD.
(2)∵∠1=52°,∴∠BMF=180°-∠1=128°,
∵MG平分
∵AB∥CD,∴∠2=∠BMG=64°,
∴ ∠2的度数为64°.
5解析 (1)证明:∵∠CED=∠GHD,∴CE∥GF.
(2)∵CE∥GF,∴∠C=∠FGD,
∵∠C=∠EFG,∴∠FGD=∠EFG,∴AB∥CD,
∴∠FED=∠D=30°,
∵CE∥GF,∴∠CED=∠EHF=80°,
∴∠CEF=∠CED+∠FED=80°+30°=110°,
∴∠AEM=∠CEF=110°.
6解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠BDC+∠B=180°,∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠B=180°,∴AE∥BD.
(2)如图,过点E作EG∥AB,
∴∠A+∠AEG=180°,
∵∠BDC=∠A=140°,∴∠AEG=180°-∠A=40°,
∵AB∥CD,AB∥EG,
∴CD∥EG,∴∠FEG=∠F=22°,
∴∠AEF=∠AEG+∠FEG=62°,
∵EF是∠AEC的平分线,∴∠CEF=∠AEF=62°
7解析 由题意知AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,即∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°,
∵∠BCD=55°,∠BAC=52°,∴∠ACB=73°,
∴当∠MAC=∠ACB=73°时,AM∥BC.
8解析 【方法运用】
(1)∠OPQ=∠AOP+∠BQP,理由如下:
如图1,过点P作PE∥OA,则PE∥BQ,∠AOP=∠OPE,
∴∠BQP=∠QPE,
∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE,∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP.
(2)∠OPQ=∠ORQ.
详解:由(1)得,∠AOP+∠BQP=∠OPQ,同理可得,∠DOR+∠CQR=∠ORQ,由镜面反射的性质可得∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠CQR,∴∠OPQ=∠ORQ.
【应用拓展】
如图2,过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB,则AB∥PM∥QN∥CD,
∴∠ABP+∠BPM=180°,∠MPQ=∠PQN,∠DCQ+∠CQN=180°,∵∠B=125°,∠C=145°,∴ ∠BPM=180° - 125°= 55°, ∠CQN = 180° - 145°= 35°,∵∠PQC=65°,∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°,∴ ∠QPM=∠PQN=30°,∴ ∠BPQ=∠BPM+