北京市第五十中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试卷（含答案）

北京市第五十中学2024 2025学年高二下学期3月检测数学试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
6．曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
7．设，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
9．函数f（x）=x2–xsinx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

12．函数，则 .
13．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是 ．
14．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 .
15．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则 ．
16．已知函数，下列命题正确的有 ．（写出所有正确命题的编号）
①是奇函数；
②在上是单调递增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2.
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值．
18．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
19．已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．
20．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”.
(1)若函数是二次函数，证明：是“等差函数”.
(2)判断函数是否为“等差函数”，并说明理由.
(3)判断函数是否为“等比函数”，并说明理由.
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．B
5．A
6．A
7．A
8．C
9．A
10．A
11．1
12．
13．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
14．
16．①②④
17．（1）函数的定义域为，导函数，
令，解得，
则，随的变化情况如下表：
2
0 0
取极大值 取极小值
故函数的单调增区间为和，单调减区间为;
（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;
当时，函数取得极小值．
18．（1）连接，交于点，
由分别为和的中点，得，
而平面平面，
所以平面.
（2）由直线平面，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系.
则
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成角的正弦值，则
.
（3），
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离
19．（1）当时，函数．
令，得，即切点坐标为．
导函数．
令，得，即切线斜率．
故切线方程为，即．
（2）函数的定义域为．
导函数．
讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为．
②当时，令，解得．
0
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（3）结合（2）的结论可知，，
要使函数在上单调递减，则有，解得，
任取一个值，比如.
20．（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
21．（1）令.
设，，是曲线上三个不同的点.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”.
（2）假设函数为“等差函数”.
因为，且，，成等差数列，所以.
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即.
令，则.
令，则，故在上单调递增，
，即，则在上单调递增，.
故当时，，即无解，
故函数不是“等差函数”.
（3）假设函数为“等比函数”.
因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，，
直线的斜率
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”.