山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二下学期第三次质量检测（3月） 数学试题(含详解)

山东省烟台市莱州市第一中学2024 2025学年高二下学期第三次质量检测（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2或6
3．若从这个整数中取个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
4．的展开式中的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
5．从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件为“相邻的2个格子颜色不同”，事件为“3个格子的颜色均不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．24
7．若为正奇数，则被9除所得的余数是(　　)
A．0 B．2 C．7 D．8
8．设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（ ）
A．16 B．25 C．32 D．41
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线与x轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
10．袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）
A．抽取次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数的期望为
D．取球次数的方差为
11．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则p的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，含项的系数为 .
13．已知随机变量，若，则 ．
14．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小 质量 体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当 时，取得最大值.
四、解答题（本大题共5小题）
15．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（2）全体排成一排，男生互不相邻；
（3）全体排成一排，甲 乙两人中间恰好有3人.
16．已知.
(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；
(2)若，且，求.
17．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋里任意取出2个球，这两个球的颜色相同的概率是.
(1)求红球的个数；
(2)若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望.
18．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．
19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能.某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如下表：
立定跳远（厘米）
得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6
该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图.
（1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩服从正态分布.现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为5，求随机变量5的分布列和数学期望；
（3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布.考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，
则抽到正品数服从超几何分布，
所以抽到的正品数的数学期望值是.
故选B.
2．【答案】D
【详解】因为已知，由组合数的性质得到或，
解得或.
故选：D.
3．【答案】A
【详解】中，共有个奇数，个偶数，
若个不同的数之和为奇数，则有个奇数，个偶数或个偶数，个奇数；
若个奇数，个偶数，则有种取法；
若个偶数，个奇数，则有种取法；
所以不同的取法共有：种.
故选A.
【方法总结】解决排列组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及分多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
4．【答案】D
【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选D.
【规律方法】求解二项式系数或展开式系数的最值问题的思路：
第一步，首先要弄清所求问题是求展开式中“二项式系数的最大值”“项的系数的最大值”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．求二项式系数的最大值或系数的最大值只需要写系数，求最大项需要把完整的那一项写出来．
5．【答案】B
【详解】用4种颜色涂图示中3个格子的试验的所有样本点有个，它们等可能，
相邻的2个格子颜色不同时，可先涂中间格子有4种方法，再涂两边的格子各有3种方法，由分步乘法计数原理得事件A所含样本点有个，
3个格子的颜色均不相同时，相当于4种颜色占三个不同位置有种方法，即得事件B所含样本点有个，
于是得，，
所以.
故选B.
6．【答案】A
【详解】原式，因展开式中没有项，
展开式中项为，
所以的展开式中的系数为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】原式
，
为正奇数，，则余数为7.
故选C.
8．【答案】C
【详解】由已知可得，，.
（ⅰ）当时，，可推出，，，
此时有或.
①当时，由已知可得或
当，时，此时必有，排列可以是或两种；
当时，时，此时可选择1，2，3中的任意排列，共中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当，可得或，也有8种方法.
综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16；
（ⅱ）当时，，可推出，，，
此时有或.
①当时，由已知可得或
当，时，此时必有，排列可以是或两种；
当时，时，此时可选择3，4，5中的任意排列，共中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当，可得或，此时也有8种方法.
综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16.
所以，“交替”的排列的数目是32.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】由正态分布的密度函数的解析式可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确；
，，当且仅当时取等号，∴曲线在处达到峰值，故B正确；
其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，故C正确；
当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，故D错误..
故选ABC.
10．【答案】BD
【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，
则，，.
对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；
对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；
对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；
对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.
故选BD.
11．【答案】AC
【详解】对于A：小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故，正确；
对于B：小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或者②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率，错误；
对于C：第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，因此，正确；
对于D：，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，错误．
故选AC．
12．【答案】15
【详解】由题意，项的系数为.
13．【答案】
【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以．
14．【答案】8
【详解】根据题意：，取得最大值，
也即是取最大，所以，设，
则
当时，，当，，
所以最大，因此，当时，取得最大值.
15．【答案】（1）种；（2）种；（3）种.
【详解】（1）种方法.
（2）先排女生有种，再将男生插空有种，故共有种方法.
（3）将甲，乙及中间三人看作一个整体，先排甲，乙有种方法，
再排中间三人有种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，
有种方法，故共有种方法.
【方法总结】在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
16．【答案】(1)594;
(2).
【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则，所以当时，故展开式中的系数为594；
（2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以，又，故.
17．【答案】(1)3个;
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，
则
整理得：，
解得（舍）或.
所以，红球的个数为3个.
（2）的取值为，，，，，
，
，，.
所以的分布列为
2 3 4 5 6
.
18．【答案】(1);
(2);
(3).
【详解】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
由全概率公式．
（2）的可能取值为2，3．
由题意知，由（1）知，
则，，
，
，．
（3），此时，
．
19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析.
【详解】（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于7.5分，即两人得分均为3.5分，或两人中1人3.5分，1人4分，由题意知：得3.5分的分数为6人，得4分的人数为9人，
所以两人得分之和不大于7.5分的概率为：.
（2）依题意，得
∴，∴
∴，
，
∴的分布列为：
0 1 2 3
（3）假设考生乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而，
而，
所以为小概率事件，即甲同学的成绩为223厘米是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假