山西省大同市第一中学校2024-2025学年高二下学期3月学情检测数学试卷(含详解)

山西省大同市第一中学校2024 2025学年高二下学期3月学情检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合A ，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．24 B．36 C．42 D．108
3．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
10．现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（ ）
A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法
B．老师站在最中间，有1440种不同的排法
C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法
D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法
11．曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（ ）
A． B．数列为等差数列
C． D．数列的前项和小于2
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的通项公式为，那么数列最大项为第 项．
13．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答）
14．已知函数存在两个极值点,满足，则实数 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，．试问：
(1)从集合和中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
(2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？
16．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．
17．若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列和的通项公式；
(3)设数列满足，求数列的前项和.
18．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求实数m的取值范围．
19．已知椭圆 的离心率为，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点，且的面积是.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合)，则直线与轴交于点，求面积的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】当集合A中含一个元素时，或；
当集合A中含两个元素时，或或，
所以这样的集合共有个.
故选D．
2．【答案】C
【详解】根据，，可知数列的公比不为1，
且成等比数列，即成等比数列，故，
故，
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题意，，
又因为，由图可当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以①当时，且，
②当时，且；
综上，;
故选D.
4．【答案】C
【详解】由题意可知：，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，
所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是.
故选C．
5．【答案】C
【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.
故选C.
6．【答案】A
【详解】，
设，因为，因此有两个不同实根，
又，因此两根一正一负，
由题意正根在内，
所以，解得，
故选A．
7．【答案】A
【详解】如图，设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，因为，点为的中点，所以根据双曲线的对称性可知，，（关键：双曲线的对称性的应用）．
根据，不妨设，则，
所以，，（双曲线定义的应用）
又，所以，解得，因此，，，．在中，，
在中，，
故，可得．
故选A．
8．【答案】C
【详解】令，则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
又、、，
由，故.
故选C.
9．【答案】CD
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选CD.
10．【答案】BCD
【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误；
选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确；
选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法，故C正确；
选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种，
再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法，
所以共有种不同的站法.故D正确.
故选BCD．
11．【答案】ACD
【详解】函数，求导得，则，而，
因此曲线在点处的切线方程为：，
对于A，在切线方程中，令，得，
则，A正确；
对于B，，，
两边取自然对数，得，
因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，B错误；
对于C，由B知：，则，，C正确；
对于D，，又，
，则，，
设，则，，，，
，…，，
因此，
即数列的前项和小于2，D正确.
故选ACD.
12．【答案】7
【详解】构造辅助连续函数，
求导得，
，，单调递增；，，
单调递减；
所以在处取得函数的极大值即最大值．
比较和时的值：，，
故最大项为．
13．【答案】
【详解】根据题意将5名志愿者分为三组，有两种情况：
第一种：将5名志愿者按人数分为1，2，2三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种．
第二种：将5名志愿者按人数分为1，1，3三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种．
故不同的安排方法共有种．
14．【答案】
【详解】因为，
由题意可知方程在上有两个不等的实数根，
因此有，解得，
此时，，
所以
，
解得，满足，
15．【答案】(1)34
(2)20
【详解】（1）由题意得，．
中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）；中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）．
又两集合中有4个相同元素，故有（个）点重复了，
所以共有（个）不同的点．
（2），则这样的三位数共有（个）．
16．【答案】(1) y＝13x－32；(2)y＝4x－18或y＝4x－14.
【详解】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13,
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴或
∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)
【详解】（1）由点在曲线上，可得.
因为是正项数列，所以，所以两边开方得：，
因为，
所以数列为公差为1，首项为1的等差数列.
（2）由数列为公差为1，首项为1的等差数列可得，
，即，
当时，，
由知，上式对也成立，则.
数列满足，且，
可得，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
可得.
（3）由于，
所以前项和为，
则，
两式相减可得
，
化简可得．
18．【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由，已知其定义域为，
求导可得，
当时，在上恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，可得下表：
极大值
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）要证，只需证，
令，求导可得，
令，解得，可得下表：
极大值
则，所以.
19．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题意可得 ，
所以，，，
解得，
椭圆的方程为:.
（2）设 ,
由 , 得
显然 , 由韦达定理有:
，，
直线 的方程为:，
令 , 则，
又 ，
则 ，
所以直线 与轴交点，
直线过定点，
，，
令，则，
因为，当时，单调递增，
所以在上单调递减，
.
所以面积的取值范围为.