天津市静海区第四中学2024-2025学年高二下学期第一次诊断练习数学试卷(含详解)

天津市静海区第四中学2024 2025学年高二下学期第一次诊断练习数学试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．下面导数运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B．6 C．3 D．-3
3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的单调递减区间为，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ）

A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
8．已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．已知函数，曲线在点处的切线方程为 ．
12．设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ．
13．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 .
14．若函数在上的最大值为4，则m＝ .
15．设.若是函数的极大值点，则 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知函数，且满足
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
17．已知函数，曲线在点处的切线与平行．
(1)求的值；
(2)求的极值．
18．已知函数
(1)求的单调增区间和单调减区间
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值
19．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，
（ⅰ）求函数的单调区间；
（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
20．已知函数（为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】解 ，故A正确；
故B正确；
故C正确，
故D错误.
故选
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选B.
4．【答案】C
【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
则，所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】，
因为的单调递减区间为，而的定义域为，
所以的一个极值点为1，
所以，解得．
所以，，
令，，解得，
所以的单调递减区间为，符合题意，
综上，
故选B．
6．【答案】B
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选B.
7．【答案】A
【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极值，故B正确；
因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；
因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确.
故选A．
8．【答案】B
【详解】因为，
所以函数的导函数为，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，。函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为.
故选B.
9．【答案】A
【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选A.
10．【答案】C
【详解】由题意，与有三个交点，
由，在上，在上单调递增，
在上，在上单调递减，
当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，，
所以，，即.
故选C.
11．【答案】
【详解】由题设，且，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
12．【答案】
【详解】因为，由，得：恒成立，即.
记，则，
由得：；由得：.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取到最小值，且.
所以.
13．【答案】
【详解】由题意得的定义域为.
在上恒成立，即在上恒成立.
设，则，.
当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数a的取值范围是.
14．【答案】4
【详解】，，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
又，显然，
所以在上，，所以.
15．【答案】
【详解】由题意得，，
因为是函数的极大值点，
所以有，
解得或.
又当时，，
或，
，
故函数在和递增，在递减，
此时是函数的极小值点，不符题意；
而当时，，
或，
，
故函数在和递增，在递减，
此时是函数的极大值点.
16．【答案】(1)
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，
所以，
令，即方程，
解得
（2）由（1）知，，所以，
令，即，
解得．
列表如下：
2 3
+ 0 - 0 +
当时，单调递增：
当时，单调递减：
当时，单调递增．
所以有极大值；有极小值
又．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
17．【答案】(1)2
(2)极小值为，无极大值.
【详解】（1）因为，.
所以，.
由题意.
（2）因为，.
所以，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数取得极小值，且.
18．【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和；
(2)
【详解】（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
4
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
如表可知，的最小值为，得.
19．【答案】(1)
(2)(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)．
【详解】（1）对，求导得，，当时，，
又切点为切线方程为即；
（2）依题意得
(i)
由，可得或，
由，可得．
函数的单调递增区间为和；单调递减区间为.
(ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表：
1 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为，
若方程有3个不同的实数根，则，
解得．
20．【答案】(1)、
(2)
【详解】（1）函数的定义域与，且，
令，得或，
所以，函数的单调递减区间为、.
（2）对任意的，.
由于，则，
令，其中，则，
令，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，，则，因此，实数的取值范围是.