第 6讲 邻比对补模型 (含答案)2025年中考数学几何模型方法巩固练习

第 6讲 邻比对补模型
模块1 本 质 原 理
见表6.1.
表6.1
已 知 图 示 结 论
α+β=180° AB=AC 对于左图的变化，我们不难发现，其原理依旧遵循着“等线段，共顶点，用旋转”，通过旋转得到了等腰△BDD'
α+β=180° BC=2AB 左图的图形变换和上图的变换就不一样了，虽然依旧满足对角互补，但是没有了等线段，出现了成比例的线段ABC= 我们依然可以通过旋转转移边和角，此时△BCD∽△BAD', 相似 比 为 2 : 1,BD:BD'=2:1,通过旋转得到了两边比例固定的△BDD'
本质原理 全等形，符合“等线段，共顶点，用旋转”；相似形，符合“比线段，共顶点，用旋转”
实例剖析
如图6.1 所示,在四边形 ABCD 中,∠A +∠C =180°,且∠ABC=60°,AD=CD,则BA,BC,BD 三者关系为 .
【答案】
【分析】
解法 1 旋转法.
如图6.2所示,因为∠A+∠C=180°,AD=CD,旋转△ABD使AD 和CD重合,所以△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，易证 故
解法 2双垂线法.
如图6.3所示,因为∠A+∠C=180°,所以A,B,C,D 四点共圆,又 AD=CD,则∠ABD=∠CBD=30°.过点 D 作DN⊥AB,DM⊥BM,易证△DAN≌△DCM,则 BC+AB 故
特别地，对角互补意味着“四点共圆”，正如解法2所推理，其原理可以直接运用，具体请见第3讲“辅助圆的妙用”.
模块2 场景演练
模型的识别：角分双垂型
1. 如图6.4所示,已知∠DCE=∠AOB=90°,OC平分∠AOB.
①求证:CD=CE;
② 探究线段 OD,OE,OC 的数量关系.
2.如图6.5所示，边长为4的正方形 ABCD 对角线交点为O，另一个边长为4的正方形 OEFG 绕着点O 旋转一周.设这两个正方形的重叠部分的面积为S，易证S为定值，则定值 S为 .
3.如图6.6所示,正方形 ABCD 的边长为4,它的对角线 AC上有一点O,且AO:OC ，另一个边长为4的正方形 OEFG 绕着点O 旋转一周，设这两个正方形的重叠部分的面积为S，则S的最值为 .
4. 已知∠AOB=120°,∠DCE=60°,OC 平分∠AOB.
(1) 如图6.7所示,求证: 线段OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由.
(2)如图6.8所示,求证:( ；线段 OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由.
(3)如图6.9所示,求证:( 线段OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由.
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模型的识别：对补旋转型
5. 如图6.10 所示,在四边形 ABCD 中, 则
6. 如图6.11所示,正方形 ABCD 顶点A 的坐标为(0,2),点 B 在x轴上,对角线 AC,BD 交于点M, 则点 C 的坐标为 .
7.如图6.12所示，一块空地由三条直路(线段AD，AB，BC)和一条劣弧道路 围成.已知 ，P，C，M，D四点在半径为1的圆周上(圆心为点O).市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点 M处，另外三个入口分别在点 C，D,P 处,其中点 P 在 上，并在公园中修四条慢跑道，即图6.12中的线段 DM，MC，CP，PD.请设计一种规划方案，使得四条慢跑道总长度最大，其最大值为 km.
模型的识别：相似型
8. 如图6.13 所示,在矩形 ABCD 中, ,点 E 在对角线AC 上,连接 BE,作 ,垂足为点 E,直线 EF 交线段DC 于点 F,则
9. 如图6.14 所示,在 中， 在 中， 点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当 时,AP=
10. 如图6.15所示,在 Rt△ABC 中,. P 是边AC 的中点,点 M,N分别是边 AB，BC 上一点，且 连接 MN,则
11. 如图6.16所示,在等腰 中， 将 沿DE 翻折,点 A 恰好落在BC上的三等分点P 处，若 则
模型的识别：利用四点共圆
12.如图6.17所示,在正方形 ABCD 中,E 是对角线BD 上一点,连接 AE,过点 E 作 ,交直线 CB 于点F.若点 F 在线段BC上,则 EA 与EF 的数量关系为 .
13.如图6.18所示，在矩形 ABCD 中，点 P 为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD,过点 P 作 ,交直线 AB 于点E, 则
模型的综合应用：遇见中考
14. (2022·深圳)如图6.19所示,已知 为直角三角形， BC 为圆O的切线，C为切点， 则 和 面积之比为 .
15.已知四边形 ABDC 内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接 DB,DC.
(1)如图6.20所示,当 时，请直接写出线段AB，AC，AD 之间满足的等量关系式： ；
(2)如图6.21所示,当 时，试探究线段AB，AC，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)如图6.22所示,若 则
第6讲 邻比对补模型
1. ① 如图J6.1所示,过点 C 分别作OA,OB 的垂线,交于M,N两点,证明△CMD≌△CNE,此时 CD=CE.
2. 4.
根据题1的方法推导，可知重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 所以
①当OE与BC 相交,OG 与CD 相交时,S 最大.
如图J6.2所示,过点O作ON⊥BC于点N,OM⊥CD 于点M,易证 所以
因为 AO:OC=1:3,所以 可证△OCN∽△ACB,则
又AB=4,则ON=3,故 ，此时为最大值，即
② 如图J6.3所示,构成四边形 AMON时,S 最小,证法同①.
4.(1) OE+OD=OC.
证明如下:如图J6.4所示,过点 C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为点 M,N,易证 所以CD=CE,DM=EN.则OE+OD=OE+OM+DM=ON+OM.
又∠MCO=30°,CM⊥AO,则 同理可得
故OE+OD=ON+OM=OC.
(2) OE--OD=OC.
证明如下：如图J6.5所示，过点 C 作 ，垂足分别为点 M，N，易证△CMD≌△CNE,所以CD=CE,DM=EN.则OE--OD=ON+NE-(MD-OM)=ON+OM.
又∠MCO=30°,CM⊥AO,则 同理可得
故OE-OD=ON+OM=OC.
(3) OD-OE=OC.
证明如下:如图J6.6所示,过点 C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为点 M,N,易证△CMD≌△CNE(AAS),所以CD=CE,DM=EN.则OD--OE=DM+OM-(EN-ON)=ON+OM.
又∠MCO=30°,CM⊥AO,则 同理可得
故OD-OE=ON+OM=OC.
如图J6.7所示,将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°到△CDA′,使BC与CD 重合,此时DA'=AB=12,AA'=AD+AB=28,△ACA'为等腰直角三角形,故
6. (6,4).
如图J6.8所示,将△MAO 绕着点M 逆时针旋转90°到△MBG,使 MA 与MB 重合,则△OMG 为等腰直角三角形，故
又AO=2,则OB=4.
如图J6.9所示,过点 C作CH⊥x轴于点H,易证△AOB≌△BHC,则 BH=AO=2,CH=OB=4,故C(6,4).
当 DP+CP 取得最大值时，四边形 DMCP 的周长最大.
连接 PM,将△MCP 绕着点 M 逆时针旋转 60°到△MDP',使 MC 与MD 重合,此时△MPP'为等边三角形,则 PC+ PD= PM.
因为 PM为⊙O 中的弦,所以 PM≤2r=2,因此 PD.+ PC 的最大值为2,故四边形DMCP 的周长的最大值为
8.
如图J6.10 所示,过点 E 分别作 BC,CD 的垂线,交于 P,Q 两点,易证△EPB∽△EQF,则
9. 3.
如图J6.11所示,作 PQ⊥AB 于点Q,PR⊥BC 于点R.
易证△QPE∽△RPF,则 即 PQ=2PR=2BQ.
因为 PQ∥BC,所以AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5.
设 PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,所以2x+3x=3,解得 故 AP=5x=3.
如图J6.12 所示,过点 P 分别作AB,BC 的垂线,交于 D,E 两点,易证△PDM∽△PEN,故
11. 12或3.
如图J6.13 所示,过点 P 分别作AB,AC 的垂线,交于 M,N 两点,易证△PMD∽△PNE,故 或 即 PD=12或3.
12. EA=EF.
连接AF.因为∠AEF=∠ABF=90°,所以A,E,F,B 四点共圆,则∠AFE=∠ABE=45°,即△AFE 为等腰直角三角形,故 EA=EF.
13.
连接AE.因为∠DPE=∠DAE=90°,所以A,D,P,E 四点共圆,则∠DEP=∠DAP.
又 则
14. 1:2.
如图J6.14所示,连接OC.
因为 BC 是⊙O 的切线,OC 为半径,所以 OC⊥BC,即∠OCB=90°,则∠COD +∠OBC=90°.
又∠ABE=90°,即∠ABC+∠OBC=90°,则∠ABC=∠COD.
因为 DE 是⊙O 的直径,所以∠DCE=90°,即∠OCE+∠OCD=90°.
又∠A +∠E = 90°,而∠E =∠OCE,所以∠A =∠OCD,易证 (AAS).
因为EO=DO,所以 故 即△ABC 和△CDE面积之比为1∶2.
15. (1) AD=AB+AC.
旋转△ADC，使CD，BD 重合，此时新构造出来的三角形为等边三角形，则 和△BCD 都是等边三角形,故AD=AE+DE=AB+AC.
理由如下:如图J6.15所示,延长 AB 至点M,使 BM=AC,连接DM.
因为四边形 ABDC 内接于⊙O,所以∠MBD=∠ACD.
又∠BAD=∠CAD=45°,则 BD= CD,于是△MBD≌△ACD(SAS),故 ∠M=∠CAD=45°,则 MD⊥AD.故. 即 则
如图J6.16所示,延长 AB 至点N,使. 连接DN.因为四边形 ABDC 内接于⊙O，所以，
又∠BAD=∠CAD,则 BD=CD,于是△NBD≌△ACD(SAS),则 ND = AD,∠N=∠CAD,所以∠N=∠NAD=∠DBC =∠DCB,有△NAD∽△CBD,则 即
又AN=AB+BN=AB+AC,BC=5,BD=4,则