第12讲 线段和(差)最值 （含答案） 2025年中考数学几何模型方法巩固练习

线段和(差)最值
类型1：将军饮马
问题背景：古代有一位将军，清晨习惯性地从营地 A 牵着自己的爱马，来到河边 P 处喝水，喝完水之后，再牵着马去到练兵场B(图10.50)，在此过程中，将军就想如何能让总路程(AP+BP)最短，实现体力的最小消耗.我们把此问题称为将军饮马问题，进而产生了一系列的变式问题，见表10.4.
表10.4
常见问题 作 法 图形 原 理
两定一动： AP+ BP 最小 作定点 A 关于河流l的对称点A' AP+BP≥A'B 两点之间线段最短
两定两动： 四边形 PMNQ 周长最小 分别作两定点 P，Q关于两条河流的对称点P',Q' PM+MN+ NQ≥P'Q'两点之间线段最短
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常见问题 作 法 图 形 原 理
两定两动： AM+BN 最小 已知:MN=a,将点 A向右平移a 个单位得到点A',对称 A'到A',连接 A"B AM+NB≥A"B两点之间线段最短
一定两动： △PMN 周长最小 作定点 P 关于两条河流的对称点 P',P" PM+MN+PN≥P'P"两点之间线段最短
一定两动： AP+PQ 最小 已知:∠1=∠2,P,Q为各自边上的动点，作定点 A 关于射线OP的对称点 A' AP + PQ = A'P + PQ≥A'B 点到直线的距离垂线段最短
|AP-BP|最大 作定点 B 关于河流的对称点 B',连接 AB'交直线于点 P' |AP-BP|=|AP - B'P|≤AB' 三角形任意两边之差小于第三边
解题方法概括 将军饮马问题总结起来就是两类问题： 第1类：求线段和的最小值，那就需要把河流同侧的一个定点对称到河流的异侧，利用“两点之间线段最短”求解即可，简称“和小异”； 第2类：求线段差的最大值，那就需要把河流异侧的一个定点对称到河流的同侧，利用“三角形的第三边大于两边之差”求解即可，简称“差大同”
类①：两定一动
1. 如图 10.51 所示,在矩形 ABCD 中, 动点 P 满足 S矩形ABCD,则点 P 到A，B两点距离之和 的最小值为 .
2.如图10.52所示,点 P 为矩形ABCD 的对角线AC上的一个动点,点 E 为BC 的中点,连接 PE,PB.若 则 的最小值为 .
3. 如图10.53所示,MN 是⊙O 的直径, ,点 A 在⊙O 上, B为 的中点，P是直径MN 上的一个动点，则. +PB 的最小值为 .
4. 如图10.54 所示,在菱形 ABCD 中, ⊙A,⊙B 的半径分别为2和1,P,E,F分别是边CD,⊙A,⊙B上的动点,则 PE+PF 的最小值是 .
5. 如图10.55所示,在 中， BD,CE 为 的两条中线，且 于点N，M为线段BD上的动点，则. 4+EM的最小值为 .
类②：两定两动
6. 如图10.56所示, 点 M,N分别在边OA,OB上,且 点 P,Q分别在边OB,OA 上,则 的最小值是 .
7. 如图10.57所示,已知点 A(2,9),B(3,1),点C,D分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的两个动点，则当四边形 ABDC的周长最小时，点C 的坐标为 .
8. 如图10.58所示,在矩形 ABCD 中, 点E,F 分别是AB,DC 上的动点， 则 的最小值是 .
变式①:如图10.59所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为CD 边的中点,P,Q为BC 边上的两个动点,且 PQ=2,当 BP= 时,四边形 APQE 的周长最小.
变式②：如图10.60所示，定直线 点B,C 分别为MN,PQ 上的动点,且 BC BC 在两直线间运动过程中始终有 .点 A 是MN 上方一定点,点 D 是PQ下方一定点，且 线段 BC 在平移过程中， CD 的最小值为 .
类③：一定两动(两点之间线段最短)
9. 如图10.61所示, 内有一定点P，且( .在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若 周长最小，则最小周长是 .
变式:如图10.62所示,P 为 内部的已知点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当 周长的最小值与OP 的长度相等时，
10. 如图10.63所示,在四边形 ABCD 中, ,点 E,F 分别是线段BC，DC 上的动点.当 的周长最小时，
11. 如图10.64所示,已知等边. 的边长为3，点D 为BC边上一点，且. E，F分别为边CA，AB上的点(不包括端点)，则△DEF 周长的最小值为 .
12. 如图10.65所示,在矩形 ABCD 中, P,Q分别是BC,AB 上的两个动点， 沿 EQ 翻折形成 连接 PF,PD,则 的最小值是
13. 如图10.66所示,正方形 ABCD 内接于⊙O,线段 MN 在对角线BD 上运动,若⊙O的面积为8π,MN=2,则 周长的最小值是 .
类④：一定两动(垂线段最短)
14. 如图10.67所示, M为AC上一点， 点P 是AB 上的一动点，点 Q 是AC 上的一动点，则. 的最小值为 .
15. 如图 10.68 所示,在 中， ,BD 平分 ,如果 M,N分别为BD,BC 上的动点,那么( MN 的最小值是 .
16. 如图10.69 所示,在矩形 ABCD 中, 若点 M，N分别是线段AC，AB 上的两个动点，则 的最小值为 .
17. 如图10.70所示,已知点. 点B(0,4),点 E(0,1),将 沿x轴向右平移得到 连接 当 取得最小值时，点 的坐标为 .
类⑤：三动点
18. 如图10.71所示,在等边 中,AB=4,P,M,N分别是BC,CA,AB边上的动点，则 的最小值是 .
19. 如图10.72所示,已知等边 的边长为1,D,E,F分别是AB,BC,AC 边上的点(均不与点 A,B,C 重合),记△DEF的周长为p,则 p 的取值范围是 .
类⑥：最大值问题
20. 如图10.73所示,在平面直角坐标系中有两点 A(-2,2),B(1,4),根据要求求出点P 的坐标：
(1) 在 x轴上找一点P,使得|PA-PB|最大.
(2) 在 y轴上找一点P,使得|PA-PB|最大.
21.如图10.74所示，四边形OABC 是边长为4的正方形，分别以OA，OC 所在的直线为x轴、y轴,直线 l 经过A,C 两点,点 ，E是直线l上的一个动点，当| 取得最大值时，点E 的坐标为 ；此时最大值为 .
1
根据勾股定理知 ,当 PO⊥AB 时,线段 PQ 最短,所以
当AD 与⊙C 相切时,线段 BE 最短,△ABE 的面积最小,此时在 Rt△ACD 中, 则
又 解得 则 故 的面积的最小值为
如图J10.38所示,因为 AC 与BD 所成的锐角为 ，所以可得四边形 ABCD 的面积
设AC=x,则BD=12-x,所以 当x=6时，S有最大值
4. 2.
因为点A(a,b),B(4,c)在直线 y= kx+3上,所以
ak + 3 = b, ①
4k +3 = c. ②
由式①可得
因为 ab 的最大值为9，所以 解得 把 代入式②得4× 即c=2.
因为 所以求得动点 P 在与AB 平行且与AB 的距离是4 的直线 l上，利用“两定一动”求解即可.
6. 6.
如图J10.39所示,作点 B 关于AC 的对称点B',交 AC 于点F,连接B'E 交AC 于点P,则 PE+PB 的最小值为B'E 的长度.
因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AB=CD=4,∠ABC=90°.
在 Rt△ABC 中,AB=4,BC=4 ，所以 即∠ACB=30°.
由对称的性质可知 ，则 故 BC，此时△BCB'为等边三角形.因为 E 为BC 的中点，所以
7. 2
如图J10.40所示,点 A'为点A 关于直线MN 的对称点,∠AMN=30°,解得∠A'OB=
在 Rt△A'OB 中, 即
8. 3.
作点 A 关于直线DC 的对称点A',连接 AA',延长CD 交AA'于点N,连接 BD,DA'.
由题意可得,此时点 P 与点D 重合,点 E 在AD 上,点 F 在BD 上,此时 PE+PF 最小,解得
因为⊙A,⊙B 的半径分别为2 和1,所以(PE+PF) min=3.
9
如图J10.41所示,易知点 N 是△ABC 的重心,连接AN 并延长交BC 于点H,AH 三线合一.
因为点 N 是△ABC 的重心，所以 设NC= BN=2ND = 2EN = 2a, 取 NC 的中点 E', 则 (
过点 E'作E'G⊥AH 于点G.
因为△NBC 为等腰直角三角形，所以 则 故
AG= AN + NG = 2NH + NG = 4NG + NG = 5NG
在 Rt△ENB 中, 解得a=5,故
如图J10.42所示,作点 M 关于OB 的对称点M',作点 N 关于OA 的对称点N',连接M'N',即为 MP+PQ+QN 的最小值.
根据轴对称的定义可知 ，则△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，故
在Rt△M'ON'中,
11. (0,5).
将点 A 关于y轴对称到点E，将点 B 关于x轴对称到点F，连接 EF，得到 EF 的解析式为y=-2x+5.
12. 10.
如图J10.43所示,延长 BC 到点G,使 CG=EF,连接 FG(等价于平移 EC),四边形EFGC 是平行四边形,则CE=FG,即AF+CE=AF+FG,故当A,F,G三点共线时,(AF
由勾股定理得 故
变式①:4.
如图J10.44所示,在 AD 上截取线段AF= PQ=2,作点 F 关于BC 的对称点G,连接EG 与BC 交于一点即为点Q，过点 A 作FQ的平行线交BC 于一点即为点P，过点 G 作BC的平行线交DC 的延长线于点 H.
因为GH=DF=6,EH=2+4=6,∠H=90°,所以∠GEH=45°,∠CEQ=45°.
设 BP=x,则CQ=BC-BP--PQ=8-x-2=6-x.
在△CQE 中,因为∠QCE=90°,∠CEQ=45°,所以CQ=EC,即6-x=2,解得x=4,即 BP=4.
变式②：
如图J10.45所示,平移AB 使得点B,C 重合,得 CA',连接 AA'并延长交CF 于点L,则 所以 AL∥DF,则△ALJ∽△DFJ,故 ,即AJ=2JD,又 则
在△JDF中,DJ=8 ,DF=8,∠JFD=60°,解三角形易得∠JDF=90°,则 90°,故
13. 10.
如图J10.46 所示,作 PM⊥OA 与OA 相交于点M,并将PM 延长一倍到点E,即 ME=PM.作 PN⊥OB 与OB 相交于点N,并将 PN 延长一倍到点F,即 NF= PN.连接EF 与OA 相交于点Q,与OB 相交于点R,再连接PQ,PR,OE,OF,OP,则△PQR 即为周长最短的三角形.
因为 OE=OF=OP =10,所以△EOF 是正三角形,则 EF=10,即在保持OP=10的条件下△PQR 的最小周长为10.
变式:30°.
14. 80°.
如图J10.47所示,作点 A 分别关于BC 和CD 的对称点A′,A″,连接A′A″,交 BC 于点E',交 CD 于点F',则 A'A"即为△AEF 周长的最小值.
因为∠DAB=130°,所以.
又 则
15
如图J10.48所示,作点 D 关于AB 的对称点M 和关于AC 的对称点N,连接MN,交AB于点F,交 AC 于点E,则 MN 是△DEF 周长的最小值,作 MK⊥DN于点K.
因为∠MDN=120°,所以∠MDK=60°,故 则 KN
在 Rt△MKN中, 故△DEF 周长的最小值为
16. 4.
如图J10.49所示,点 F 在⊙E 上运动,作点 D 关于BC 的对称点, ,连接 PD',ED'.当点 E,F,P,D'共线时, 取值最小，(
17. 8.
⊙O 的面积为8π，则圆的半径为 于是
由正方形的性质知，点C 是点A 关于BD 的对称点，如图J10.50所示，平移CM，使 M，N重合,得到 NC',连接 此时四边形 为平行四边形，故 的周长=AM
在 Rt△ACC'中, 则△AMN 周长的最小值为6+2=8.
如图J10.51所示,作点 M 关于AB 的对称点M',过点 M'作. 于点Q'，则M'Q'的长即为PM+PQ 的最小值,易得.
在 Rt△AM'Q'中, 故
19. 2.4.
作点 N 关于BD 的对称点N'，点N'刚好落在AB 边上，此时过点 C 作AB 的垂线即可.
20. 8.
如图J10.52所示,作点 B 关于AC的对称点E,过点 E 作EN⊥AB 于点N,交 AC 于点M,则 BM+MN 的最小值是EN,易证△ABC∽△ENB,则 故 EN=8.
21
如图J10.53所示,平移 BA′使得点A′,E′重合,作点 B′关于直线l的对称点B″,则（ ,
易得B'(2,5),B"(2,-3),故
当y=1时,
当 E'取得最小值时，点E'的坐标为(