第14讲 胡不归最值（含答案） 2025年中考数学几何模型方法巩固练习

胡不归最值
问题背景：传说从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.途中他要先坐高铁再坐汽车(图10.81)，但是到家老人就去世了，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 ”.
问题1：如图10.82所示，若公路的速度 ，高铁的速度 则小伙子回家需要的时间为 .
问题2：如图10.83所示，若公路的速度 高铁的速度 则小伙子回家需要的时间为 .
问题3：如图10.84所示，若公路的速度 高铁的速度 则小伙子回家需要的时间为 .
请思考以上三种情景的最短时间的辅助线作法，并分别标出点 P 的位置.
类①：直线构造
1. 如图10.85所示,在等边 中， ，若点 P 在线段AD 上运动，当 的值最小时，
2. 如图10.86所示,在△ABC 中, P为AC 边上的一个动点(不与A,C重合),连接 BP,则 的最小值是 .
3. 如图10.87所示,在 中， P为边CD 上的一动点，则 的最小值是 .
4. 如图10.88所示,直线,AB: 与x轴交于点A，且经过点 B(2，6)，已知点C(3,0),E 为线段AC上一点,连接BE,一动点 F 从点B出发,沿线段 BE 以每秒1个单位的速度运动到点 E，再沿线段 EA以每秒2个单位的速度运动到点 A 后停止.设点 F 在整个运动过程中所用时间为t，当t 取最小值时，点E 的坐标为 .
类②：先提系数再构造
5. 如图10.89所示,在 中， 若D 是BC 边上的动点，则. 的最小值是 .
6. 如图10.90所示,在 中， P 为AC 上一动点，若 6,则 的最小值为 .
类③：非特殊角
7. 如图10.91所示,在 中， P 为BC 上一动点，则 的最小值是 .
8. 如图10.92 所示, 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2 ),C(1,0),D为射线AO上一点，一动点 P从A 出发，运动路径为A→D→C，点 P在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为 .
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1. 8.
如图J10.63所示，AP'的长度即为所求.
2
提示：如图J10.64所示，构造 此时 的长度即为所求.
提示:如图J10.65所示,构造∠QDC=60°,即延长 AD,此时 BQ'的长度即为所求.
4
如图J10.66所示,过点 B作BM⊥x轴于点M,过点 A 作直线AH 使 过点 B 作 于点H'，交x轴于点E'，则点 E'为所求点.
因为 (对顶角)，所以. 因为BM=6,所以 又OM=2,所以 故点 E'的坐标为(
5. 6.
提示： 求 的最小值即可，如图J10.67所示，AP'即为所求，因为 所以2AD+DC=6.
6. 10.
提示： 求 的最小值即可，如图J10.68所示，BD 即为所求.因为 所以
提示:如图 J10.69 所示, 结合 AP + PJ>AK,由等面积法可得 AK·BH= BC·AH,代入数值可得 故
假设点 P 在AD 上的速度为3V，在CD 上的速度为V，则总时间 要使 t 最小，就要 最小.
因为AB=AC=3,过点 B 作BH⊥AC交AC 于点H,交 OA 于点D,易证△ADH∽△ACO,所以 即
因为△ABC 是等腰三角形,所以 BD =CD,要使 最小,就要 DH+BD 最小,即 B，D，H三点共线就行了.
因为△AOC∽△BOD,所以 即 亦即 故点 D 的坐标应为