天津市河北区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河北区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.展开式中，只有第项的二项式系数最大，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
6.函数的单调递减区间是( )
A. B. ， C. D.
7.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若函数的单调递减区间为，则( )
A. B. C. D.
9.如图所示的一圆形花圃，拟在，，，区域种植花苗，现有种不同颜色的花苗，每个区域种植种颜色的花苗，且相邻的块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为( )
A.
B.
C.
D.
10.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.二项式的展开式中常数项为 用数字作答
12.已知函数，若，则实数的范围是______．
13.某物体做直线运动，其运动规律是，则它在的瞬时速度等于______．
14.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
15.已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ______，切线方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中．
Ⅰ一共有多少种放法？
Ⅱ每盒放一球，有多少种放法？
Ⅲ每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
Ⅳ恰好有一个空盒，有多少种放法？
17.本小题分
已知二项式的展开式中前项的二项式系数之和为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的展开式中所有项的系数和；
Ⅲ求的展开式中的系数用数字作答．
18.本小题分
设，函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，取得极值，求的解析式；
Ⅱ在Ⅰ的条件下，求函数的单调区间及极值；
Ⅲ若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
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14.
15.
16.解：Ⅰ根据分步乘法计数原理，每个小球有种放法，
则个小球有种放法；
Ⅱ根据题意，每个盒子都只能放个球，
放法的总数就是个数的全排列，即有种放法；
Ⅲ第一步，将个小球放入编号相同的盒子中，有种放法，
第二步，将剩下个小球放入编号不同的盒子中，有种放法，
所以有种不同的放法；
Ⅳ第一步，在个球中任选个放在一起有种方法，
第二步，在个盒子中任选个盒子，将选出的两个球作为一组，
和剩下的两个球分别放入个盒子，有种放法，
所以有种放法．
17.解：Ⅰ二项式的展开式中前项的二项式系数之和为，故，
故，解得．
Ⅱ由Ⅰ得：令，故所有项的系数和为．
Ⅲ由二项式的展开式，
当与配对时，令时，的系数为；
当与配对时，令，的系数为；
故，的系数为．
18.解：，，
时，，，
故，，故切线为，
即．
当时，，故此时为增函数；
时，令得，
由得，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上，当时，为增函数；
时，的单调递减区间为，单调递增区间为
19.解：Ⅰ因为所以，当时，取得极值，
得解得所以的解析式为．
，时，，函数定义域为，，
令解得：或，当变化时，
的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
时，有极大值，时，有极小值．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，的极大值为，极小值为．
Ⅲ时，上恒成立，即在区间恒成立．
设，，则，令，解得，
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以的取值范围为．
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