2024-2025人教版八年级数学下期末押题卷（含解析）

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2024-2025人教版八年级数学下期末押题卷
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是
D．周三与周五的最高气温相差
5．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．3
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是 ．
12．已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为 ．
13．如图，直线交坐标轴于两点，，则不等式的解集是 ．
14．如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．

15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，，，、两点分别在、边上，且，若，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）．下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务．
解：
…第1步
…第2步
…第3步
…第4步
任务：
(1)从第2步到第3步运用的乘法公式是________（选填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第________步；
(3)请写出正确的完整的解题过程．
17．（7分）如图，一木杆在离地面（）8米处的C点折断，木杆的顶端B落在离木杆低端A点米的地面点D处．求木杆的长．
18．（8分）如图，四边形为矩形，对角线、交于点，为上一点，连接、．
(1)用直尺和圆规完成以下操作：在右侧作，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证四边形为平行四边形．
四边形为矩形，交于点
在与中
③___________
又
四边形为④___________
以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤___________．
19．（8分）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分：
根据以上信息解决以下问题：
(1)这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图；
(2)这一天课后体育锻炼时间的众数是__________；
(3)若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．
20．（8分）某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元．
②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式；
(2)选择哪种消费方式划算．
21．（9分）阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．
牛刀小试：
（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝　 　；
活学活用：
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；
问题解决：
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB为边在AB上方作等边三角形ABD，连接CD，求CD的最大值．
22．（12分）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题．
如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降．
【解决问题】
任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表：
价格p/（万元） 1 2 3 4 5
需求量/（万件） 22 20 18 16 14
求出与p的函数表达式；
任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格；
任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，连接，并在延长线上取一点E，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角________；
(2)迁移探究
小华将菱形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，
①当点P为中点时，与的数量关系是_______，与的关系是________．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
2024-2025人教版八年级数学下期末押题卷（解析版）
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键．
根据二次根式被开方数是非负数逐项判断即可．
【详解】解：A、，被开方数是负数，不是二次根式；
B、，被开方数是非负数，是二次根式；
C、，被开方数是负数，不是二次根式；
D、，被开方数不一定是非负数，不一定是二次根式．
故选：B．
2．点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算，坐标系中点和点的距离为，据此计算求解即可．
【详解】解：点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是，
故选：D．
3．如图，A，B两点被湖水隔开，岸边有一点C，的中点分别是D，E，现测得，则A，B两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，E分别为线段中点
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
4．某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是
D．周三与周五的最高气温相差
【答案】C
【分析】本题考查了折线统计图、平均数、中位数、众数，解决本题的关键是根据平均数、中位数、众数的定义，求出这些数据，再根据求出的结果判断正误．
【详解】解：A选项：由折线统计图可知，本周最高气温的平均数是，故A选项错误；
B选项：把这周的最高气温按照从小到大排列，依次是、、、、、、，中间的数是，这组数据的中位数是，故B选项错误；
C选项：这组数据中出现次数最多的数据是，这组数据的众数是，故C选项正确；
D选项：由折线统计图可知，周三的最高气温是，周五的最高气温是，，周三与周五的最高气温相差，故D选项错误．
故选：C．
5．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据算术平方根，合并同类项，二次根式的乘法等知识逐项判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
7．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
在中，，
∴，
故选：A．
8．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质和直角三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可．
【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
故选：C．
10．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元
【答案】B
【分析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，根据在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】解：设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，
根据题意得：，
解得：，
∵，，
∴随的增大而减小，
∴当时，W取最大值，最大值为（元），
答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出x的范围．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是 ．
【答案】55
【分析】本题主要考查中位数，将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：重新排列为50，51，55，55，61，64，
这组数据的中位数为，
故答案为：55．
12．已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为 ．
【答案】/90度
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，得到即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴的最大内角的度数为．
故答案为：．
13．如图，直线交坐标轴于两点，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，对于一次函数，当时对应自变量的取值范围为不等式的解集．
可以看作是函数的函数值小于0，图象在x轴下方，求出对应的自变量的取值范围，这样即可得到不等式的解集．
【详解】解：根据题意得：
，即函数的函数值小于0，图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为，
不等式的解集是，
故答案为：．
14．如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意证明，再设，则，再利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵矩形，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则
∴，解得：，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，，，、两点分别在、边上，且，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解．
【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图：
则，
∴，
∴
在矩形中，，
∴
∴四边形为矩形
∴，，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则，
设直线解析式为
∵，，
∴
∴，代入得，，解得，
又∵点在直线上，
∴
解得，即
∴
∴点坐标为
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
【答案】10
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及实数的混合运算，根据相关运算法则计算出各项结果，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：

=10
（2）．下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务．
解：
…第1步
…第2步
…第3步
…第4步
任务：
(1)从第2步到第3步运用的乘法公式是________（选填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第________步；
(3)请写出正确的完整的解题过程．
【答案】(1)平方差公式
(2)3
(3)见解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式，是解题的关键：
（1）利用平方差公式进行计算；
（2）第3步，的平方计算错误；
（3）利用乘法公式进行计算即可．
【详解】（1）解：从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式；
故答案为：平方差公式；
（2）第3步，的平方计算错误；
故答案为：3；
（3）
．
17．（7分）如图，一木杆在离地面（）8米处的C点折断，木杆的顶端B落在离木杆低端A点米的地面点D处．求木杆的长．
【答案】米
【分析】此题考查了利用勾股定理解决实际问题，正确理解题意中的数量关系构建勾股定理是解题的关键．
本题由题得：，，，在中，根据勾股定理可求得，然后即可求解木杆的长；
【详解】解：由题得：，，，
在中，可得，
∴，
∴木杆的长为米；
18．（8分）如图，四边形为矩形，对角线、交于点，为上一点，连接、．
(1)用直尺和圆规完成以下操作：在右侧作，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证四边形为平行四边形．
四边形为矩形，交于点
在与中
③___________
又
四边形为④___________
以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤___________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧交于一点F，再连接，，因为四边形为矩形，则，再结合，则四边形是平行四边形，故，即，
（2）结合证明，然后运用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答．如果四边形为菱形，同理先证明四边形为平行四边形，再结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形为矩形，交于点，
，
在与中
，
，
又，
四边形为④平行四边形，
以上探究过程中，若四边形为菱形，进行相同操作后，则四边形为⑤菱形，
同理证明四边形为平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，
即，
∴四边形为菱形．
19．（8分）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分：
根据以上信息解决以下问题：
(1)这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图；
(2)这一天课后体育锻炼时间的众数是__________；
(3)若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．
【答案】(1)7，条形图见解析
(2)55
(3)180人
【分析】本题考查条形统计图，众数，样本估计总体．
（1）将抽出学生的人数减去其他各时间的人数，即可解答；
（2）根据众数的定义求解即可；
（3）将全校学生人数乘以样本中体育锻炼时间不少于60分钟的学生的比例，即可求解．
【详解】（1）解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；
补全条形统计图为
故答案为：7
（2）解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．
故答案为：55
（3）解：（人）
答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．
20．（8分）某游泳馆：普通票价20元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①银卡售价150元张，每次凭卡另收10元．
②金卡售价600元张，每次凭卡不再收费．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设当游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择普通票、银卡消费时，y与x之间的函数关系式；
(2)选择哪种消费方式划算．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键：
（1）根据收费方程，分别列出函数关系式即可；
（2）画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，选择普通票时：；
选择银卡消费时：；
（2）当时，解得：，此时，
当时，解得：，
当时，解得：；
画出函数图象如图：
其中为，为，，，；
∴当时，选择普通票划算；
当时，选择普通票和银卡费用相同，比金卡划算；
当时，选择银卡划算；
当时，选择银卡和金卡费用相同，比普通票划算；
当时，选择金卡划算．
21．（9分）阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．
牛刀小试：
（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝　 　；
活学活用：
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；
问题解决：
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB为边在AB上方作等边三角形ABD，连接CD，求CD的最大值．
【答案】（1）5；（2）5；（3）．
【分析】（1）直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
（2）连接BE，DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BE=DE=13，再利用勾股定理，即可求解；
（3）取AB的中点P，连接DP，CP，则 ，即当C、P、D三点共线时，CD最大，最大为CP+PD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 ，再由等边三角形的性质和勾股定理，可得，即可求解．
【详解】解：在 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得： ，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB=5；
（2）如图，连接BE，DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、为AC的中点，
∴ ，
∴BE=DE，
∵AC＝26，
∴BE=DE=13，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥AC，BF=DF，
∵BD＝24．
∴BF=DF=12，
在 中，由勾股定理得：
；
（3）如图，取AB的中点P，连接DP，CP，则 ，即当C、P、D三点共线时，CD最大，最大为CP+PD，
在 中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵点P是AB的中点，
∴ ，
∵△ABD是等边三角形，
∴ ，BD=AB=5，
在 中，由勾股定理得：
，
∴CD的最大值为CP+PD= ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22．（12分）【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题．
如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降．
【解决问题】
任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表：
价格p/（万元） 1 2 3 4 5
需求量/（万件） 22 20 18 16 14
求出与p的函数表达式；
任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格；
任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______．
【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：．
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键．
任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可；
任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题；
任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题．
【详解】解：任务1：设，
由表格可知，一次函数经过，两个点，
，
解得：，
关于的函数关系式为；
任务2：由题意得，
解得，
达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；
任务3：当时，，
解得，
当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，连接，并在延长线上取一点E，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角________；
(2)迁移探究
小华将菱形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，
①当点P为中点时，与的数量关系是_______，与的关系是________．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)①； ②成立；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质与轴对称的性质，即可得到答案；
（2）①当点P为中点时，连结，点P为对角线的交点，点E与点C重合，根据正方形的性质即得答案；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），过点P作于点F，交于点G，证明，得到，再证明，即可进一步推得，即得答案；
（3）设，即可求得，从而得方程，解得，因此，最后根据勾股定理即得答案．
【详解】（1）解：对折菱形纸片，使点B与点D重合，得到对角线折痕，
，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：①当点P为中点时，连结，
四边形是正方形，
点P为对角线的交点，且，，
点E与点C重合，
，；
故答案为：；．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，C重合），①的结论是否仍然成立．
理由如下：
过点P作于点F，交于点G，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．
理由如下:
如第（2）题②的图中，设，
则，
，，
，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
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