2024-2025人教版七年级数学下期末押题卷（含解析）

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2024-2025人教版七年级数学下期末押题卷
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在，3.14，2，四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．2 D．
2．点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知是二元一次方程的解，则m的值是（ ）．
A．2 B． C．3 D．1
4．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况 B．扬州东站对旅客上高铁进行安检
C．为保证飞机飞行安全，对其零部件进行检查 D．检测某市的空气质量
6．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确
9．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．户外徒步时，甲、乙二人从相距24km的两地相向而行．若同时出发，3h相遇；若甲比乙先出发，则在乙出发后2h两人相遇．设甲、乙二人的速度分别为，，根据题意，可得方程组（ ）
A．B． C． D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知点在上，点在轴上，则 ．
12．“同旁内角互补”，写成“如果…那么…”的形式为 ，该命题是 命题（选填“真”或“假”）．
13．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ．
14．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
15．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）求的值：．
17．（8分）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当点P在y轴上时，求点P的坐标；
(2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离比到y轴的距离大2，求点P的坐标．
18．（8分）人工智能（，简称）已经成为现代人生活中不可或缺的一部分，它在智能家居、交通、健康医疗、办公自动化、教育智能辅导、虚拟教师、娱乐、社交网络、经济生产、智能制造、供应链优化、金融服务、社会治理、智能城市、环境保护、公共安全、个性化服务等等多个方面深刻地改变了人们的生活方式、工作效率和社会结构，人工智能的发展在带来诸多便利的同时，也引发了一系列负面影响和伦理挑战，比如隐私和安全、就业结构调整、伦理和道德问题等等．某科技兴趣小组准备在全校进行一项关于人工智能的利与弊的随机抽样调查活动．
调查分为：利大于弊，应该大力普及推广；：利弊均等，应选择性应用；：离中学生生活比较遥远，不适合应用；D：接触了解不多，无法判断四个组，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题：
(1)求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
(2)求扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数；
(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对人工智能了解不多的大约有多少人？
19．（8分）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，，于点，求的度数．
20．（8分）水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息
阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨）
第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00
第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00
第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用；
②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格．
（例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算）
(1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？
(2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量．
(3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量．
21．（9分）【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（3）请求出绝对值不等式的解集．
22．（12分）综合与实践：用硬纸板制作无盖纸盒
背景：在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材：配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：
当时，有最大值5．
方案1：甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2：乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
(1)任务1：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为______（用含的代数式表示），并判断底面积能否达到．
(2)任务2：若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
(3)任务3：求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
23．（12分）感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
2024-2025人教版七年级数学下期末押题卷（解析版）
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在，3.14，2，四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答．
【详解】解：A、，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、，是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、2，是正整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、，开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标所在的象限，正确理解点的坐标所在的象限是解题的关键．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限，各象限横纵坐标的符号为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据点的坐标所在的象限的规律，即可判断答案．
【详解】解：点所在象限为第二象限．
故选：B．
3．已知是二元一次方程的解，则m的值是（ ）．
A．2 B． C．3 D．1
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入方程，得：，
∴．
故选：B．
4．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角的和差运算，掌握“对顶角与邻补角的含义”是解本题的关键．
根据对顶角得出，然后结合图形求解即可 再利用角平分线的定义求解 再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
5．下列调查中，其中适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班50名同学的视力情况 B．扬州东站对旅客上高铁进行安检
C．为保证飞机飞行安全，对其零部件进行检查 D．检测某市的空气质量
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查与全面调查．抽样调查是通过对样本调查来估计总体特征，其调查结果是近似的；而全面调查得到的结果比较准确；根据对调查结果的要求对选项进行判断．
【详解】解：A、调查某班50名同学的视力情况，人数较少，应采用全面调查，故不符合要求；
B、扬州东站对旅客上高铁进行安检，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合要求；
C、为保证飞机飞行安全，对零部件进行检查，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合要求；
D、检测某市的空气质量，应采用抽样调查，故符合要求；
故选：D．
6．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示解集．解一元一次不等式得出其解集，根据大于向右、小于向左，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点在数轴上表示解集即可．
【详解】解：解不等式得．
故选：D．
7．如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键．
根据题意得到，则，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
8．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确
【答案】C
【分析】先求出正方形纸片的边长，再利用长方形的面积公式分别求出裁出的长方形的长、宽，由此即可得．
【详解】解：正方形纸片的面积为，
正方形纸片的边长为，
小明的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则长为，
，
，
所以小明的方案错误；
小丽的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则长为，
，
，
所以小丽的方案错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、实数的大小比较、利用平方根解方程，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．
9．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的解集，理解一元一次不等式组解集的定义是正确解答的关键．
根据一元一次不等式组解集的定义进行解答即可．
【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是．
故选：D．
10．户外徒步时，甲、乙二人从相距24km的两地相向而行．若同时出发，3h相遇；若甲比乙先出发，则在乙出发后2h两人相遇．设甲、乙二人的速度分别为，，根据题意，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据同时出发，3h相遇，甲比乙先出发，则在乙出发后2h两人相遇，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，得：，整理，得：；
故选：C．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知点在上，点在轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，在轴上的点的横坐标为零；在轴上的点的纵坐标为零，据此即可求解；
【详解】解：∵点在上，点在轴上，
∴
解得：
∴
故答案为：．
12．“同旁内角互补”，写成“如果…那么…”的形式为 ，该命题是 命题（选填“真”或“假”）．
【答案】 “如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补” 假
【分析】本题主要考查了命题的改写，判断命题真假，命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，据此先改写命题，再判断真假即可．
【详解】解：“同旁内角互补”，写成“如果…那么…”的形式为“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”，这是一个假命题，
故答案为：“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”；假．
13．在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ．
【答案】，
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解．
根据题意列出方程组，然后求解即可．
【详解】根据题意得，
解得
∴解密后得到的明文是，．
故答案为：，．
14．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解．
【详解】解：设有间宿舍．
根据题意，得：，
解得：，
因为为正整数，
当时，人数为；
当时，人数为；
当时，人数为；
因为该班男生不足人，
所以该班的男生人数是人，
故答案为：．
15．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
【答案】96
【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键．
过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵ 平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，平方根，熟练掌握相关运算是解题关键．
（1）先利用算术平方根和立方根的性质、绝对值化简，再计算即可求解；
（2）根据平方根的性质解方程，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
整理，得：，
开方，得：，
或，
或．
17．（8分）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当点P在y轴上时，求点P的坐标；
(2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离比到y轴的距离大2，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）点P在y轴上，则点P的横坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标；
（2）点P在第四象限，且点P到x轴的距离比到y轴的距离大2，得关于a的方程，求解即可．
【详解】（1）解： ∵点P在y轴上，
，
，
∴，
∴；
（2）解：P在第四象限，
，，
点P到x轴的距离比到y轴的距离大2，，
，
解得：，
∴，，
∴．
18．（8分）人工智能（，简称）已经成为现代人生活中不可或缺的一部分，它在智能家居、交通、健康医疗、办公自动化、教育智能辅导、虚拟教师、娱乐、社交网络、经济生产、智能制造、供应链优化、金融服务、社会治理、智能城市、环境保护、公共安全、个性化服务等等多个方面深刻地改变了人们的生活方式、工作效率和社会结构，人工智能的发展在带来诸多便利的同时，也引发了一系列负面影响和伦理挑战，比如隐私和安全、就业结构调整、伦理和道德问题等等．某科技兴趣小组准备在全校进行一项关于人工智能的利与弊的随机抽样调查活动．
调查分为：利大于弊，应该大力普及推广；：利弊均等，应选择性应用；：离中学生生活比较遥远，不适合应用；D：接触了解不多，无法判断四个组，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题：
(1)求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
(2)求扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数；
(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对人工智能了解不多的大约有多少人？
【答案】(1)120人，图见解析
(2)
(3)150人
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用B的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出A、C的人数后补全统计图即可；
（2）用360度乘以D的人数占比即可得到答案；
（3）用1500乘以样本中D的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：人，
∴参与调查的学生人数为120人，
∴C的人数为人，
∴A的人数为人，
补全统计图如下：
（2）解：，
∴扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：人，
∴估计该校学生对人工智能了解不多的大约有150人．
19．（8分）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，，于点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由可得，推出，即可得证；
（1）设，则，由角平分线的定义可得，结合，可得，由，，推出，最后列方程，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
20．（8分）水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息
阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨）
第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00
第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00
第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用；
②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格．
（例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算）
(1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？
(2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量．
(3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量．
【答案】(1)小明家10月份预计应缴纳水费元；
(2)小明家2024年上半年用水140吨；
(3)小红家2024年上半年用水260吨．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解分段收费的各段标准，确定相等关系是解本题的关键．
（1）根据题意小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，列式计算即可求解；
（2）先判断小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，再根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小红家2024年上半年用水吨，分三种情况讨论，列一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，属于第一阶梯，
10月预计用水35吨，则10月后累计用水：吨，属于第二阶梯，
∴小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，
∴元，
答：小明家10月份预计应缴纳水费元；
（2）解：若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119，
∴小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，
∴由题意得，
整理得，解得，
答：小明家2024年上半年用水140吨；
（3）解：设小红家2024年上半年用水吨，
根据题意，下半年比上半年少缴费，故有三种情况：
①，
此时上半年水费为元，下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
②，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，符合题意；
③，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上，小红家2024年上半年用水260吨
21．（9分）【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（3）请求出绝对值不等式的解集．
【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可；
(2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可．
【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
（3），
或，
解得或．
22．（12分）综合与实践：用硬纸板制作无盖纸盒
背景：在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材：配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：
当时，有最大值5．
方案1：甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2：乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
(1)任务1：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为______（用含的代数式表示），并判断底面积能否达到．
(2)任务2：若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
(3)任务3：求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【答案】(1)，底面积能达到
(2)当时，方案1的纸盒体积大；当时，方案1与方案2的纸盒体积一样大；当时，方案2的纸盒体积大
(3)纸盒体积有最大值为
【分析】本题考查了列代数式、配方法的应用、解不等式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合正方形的面积公式即可得解；
（2）两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，底面积大的方案的纸盒的体积就大，表示出方案2的底面积为，分三种情况讨论即可得解；
（3）表示出方案2中纸盒的体积，然后配方，即可得解．
【详解】（1）解：根据题意可得：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
令，
解得：，（不符合题意，舍去），
故底面积能达到；
（2）解：∵两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，
∴底面积大的方案的纸盒的体积就大，
由题意可得：方案2的底面积为，
由（1）可得：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
根据题意可得：，
解得：，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
综上所述，当时，方案1的纸盒体积大；当时，方案1与方案2的纸盒体积一样大；当时，方案2的纸盒体积大；
（3）解：由题意得：方案2中纸盒的体积为，
∴当时，纸盒体积有最大值为．
23．（12分）感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3）
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键．
（1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论；
（2）由（1）可得，且，再进一步可得结论；
（3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可．
【详解】（1）证明：过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）可知，
，且，
∴，
∴；
（3）如图，令，，则，
由（1）得：，
∵射线是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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