山东省实验中学2024-2025学年高一（下）4月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年山东省实验中学高一下学期 4 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面向量 与 的夹角为 60°， = (2,0)，| | = 1，则| + 2 | = ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 12
2 1+3 .(1+ )2 =
A. 3 1 B. 3+ 1 C. 3 1 D. 3 12 2 2 2 2 2 2+ 2
3.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是( )
A.长方体 B.圆锥 C.棱锥 D.圆台
4.给出下列几个说法，其中正确说法的个数为( )
①过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、
四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八角攒尖为例，它的主要部分的
轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比
为( )
3 3
A. cos B. sin
cos 8 sin 8
cos3 sin3
C. cos D. sin
8 8
6.已知 中， ， 1 1 分别为线段 ， 上的点，直线 ， 交于点 ，且满足 = 6 +
2 ，则
△
△
的值为( )
第 1页，共 7页
A. 4 5 5 103 B. 2 C. 3 D. 9
7.锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 sin sin (sin + cos ) = 0， = 2， = 3，
则 =( )
A. π3 B.
π C. π6 4 D.
2
3π
8.已知 斜二侧画法下的直观图是边长为 2 的正三角形 ′ ′ ′(如图所示)，则 =( )
A. 28 2 3 B. 10 2 3 C. 3 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = + ( , ∈ )为复数， 是 的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )
A. 2 1若 为纯虚数，则 = ≠ 0 B.若 ∈ ，则 ∈
C.若| | = 1，则| |的最大值为 2 D. = | |2
10.如图， ， 为正方体中所在棱的中点，过 ， 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
11.如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为棱 1 1, 1 的中点，则下列结论正确
的是( )
A.直线 与 1是异面直线
B.直线 与 是平行直线
C.直线 与 是相交直线
D.平面 9截正方体所得的截面面积为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 2页，共 7页
12.如图，在 中， 为线段 上一点，则 = + ，若 = 3 ，| | = 4，| | = 2，且
与 的夹角为60 ，则 的值为 ．
13.已知圆台的上、下底面的周长分别为 2π，4π，母线长为 5，则该圆台的体积为 ．
14.正三棱台 1 1 1的上底面边长 = 2，下底面边长 1 1 = 4，棱台的高为 2，则该正三棱台的侧
面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
1
设三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，求三角形 面积 的最大值．
16.(本小题 15 分)
(1)在复平面内，若 、 对应的复数分别为 7 + i、3 2i，求 ；
(2)复数 满足 1 + 2i = 4 + 3i，求 ；
(3) ( 2)已知 ∈ ，复数 = 1 +
2 + 2 3 i，当 为何值时，
① ∈ ；② 是纯虚数．
17.(本小题 17 分)
已知平面向量 的夹角为 60°，且| | = 1．
(Ⅰ)求 的最大值；
(Ⅱ)求( ) ( + 2 )的最大值．
18.(本小题 13 分)
如图，已知在直角梯形 中， // ， = 2， = 4， = 5，若将该图形中阴影部分绕 所在直
线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积．
第 3页，共 7页
19.(本小题 17 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1 = 2， ， ， 分别为 1 1， ， 的中
点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求三棱锥 的体积．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.14π 143 / 3
14.3 39
15.解：(1)由正弦定理： cos = 12 可化为 sin cos = sin
1
2 sin ，
即 sin cos = sin( + ) 12 sin ，
即 sin cos = sin cos + cos sin 12 sin ，
1
所以 cos sin 2 sin = 0，
又 sin ≠ 0 cos = 1，所以 2，

因为 0 < < ，所以 = 3；
2 2(2) + 3 1由余弦定理得 cos = 2 = 2，
即 2 + 2 = + 3，
所以 + 3 ≥ 2 ，所以 ≤ 3，
1 1
所以△ 面积 = 2 sin ≤ 2 × 3 ×
3 3 3
2 = 4 ．
16.解：(1) ∵ 、 对应的复数分别为 7 + i、3 2i，
第 5页，共 7页
∴ = (7,1)， = (3, 2)，
∴ = = ( 4, 3)，∴ | | = ( 4)2 + ( 3)2 = 5；
(2) ∵ (1 + 2i) = 4 + 3i，∴ (1 2i)(1 + 2i) = (1 2i)(4 + 3i)，∴ 5 = 10 5i，
∴ = 2 i，∴ = 2 + i；
2
(3)① ∵ ∈ ，∴ + 2 3 = 0，解得 = 3；
1 ≠ 0
( 2)
② ∵ = 0是纯虚数，∴ 1 ，解得 = 0 或 = 2．
2 + 2 3 ≠ 0
17.解：( ) ∵ | | = 1，∴ | |2 + | |2 2 = 1，
又∵ 2 = 2| | | | = | | | |，
∴ | |2 + | |2 | || | = 1 ≥ 2| || | | || | = | || |，
(当且仅当| | = | | = 1 时，等号成立)

故| | | | ≤ 1 = | | | | ≤ 1，故 2 2，
故 1的最大值为2；
( ) ( ) = | | |
|
由 可得 ，且| |2 + | 22 | | ||
| = 1，
故(

) ( + 2 ) = | |2 + 2| |2 = | |2 + | | | |2 2|
|2，
| | |
(
|
) ( +2 ) | |2+ 2 2|
|2
故 1 = ，| |2+| |2 | | | |
上下同除以| |2 | |，且令 = ∈ (0, + ∞)，| |
2 +
3
( ) ( + 2 ) = 2
2 ( 2)
2 +1 = 1 +
2
2 +1，
当 = 2 时，( ) ( + 2 ) = 1；
当 ≠ 2 时，令 = 2 ∈ ( 2, + ∞)且 ≠ 0 得，
3
( ) ( + 2 ) = 1 + 2
+3
，
+3
显然，若( ) ( + 2 )取得最大值，即 > 0，
3
( ) ( + 2 ) = 1 + 2 ≤ 3 1，
+3 +3 2
( | |当 = 2 = 3，即 = 2 + 3时取“=”)| |
即( ) ( + 2 ) 1的最大值为 3 2．
第 6页，共 7页
18.解：该几何体是由一个圆台挖去半个球，
由题意知，该圆台的上下底面的半径分别为 2 和 5，高为 4，母线为 5，
挖去半球的半径为 2．
∴该几何的表面积为 = × 52 + (5 + 2) × 5 + 12 × 4 × × 2
2 = 68 ；
1
该几何体的体积为 = 3 (2
2 + 52 + 2 × 5) × 4 1 × 4 × 232 3 = 52
16 140
3 = 3 ．
19.解：(1) ∵直三棱柱 1 1 1中， 为 1 1的中点，
1 1
所以 1 = 2 1 1 = 2 ，且 1 // ，
∵因为 ， 分别 ， 的中点，
∴ // ， = 12 ，
∴ // 1 ， = 1 ，
∴四边形 1 为平行四边形，∴ // 1 ，
又∵ 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
故 //平面 1 1 ．
(2)因为直三棱柱 1 1 1，则平面 //平面 1 1 1，
因为 ∈平面 1 1 1，则点 到底面 的距离即为点 1到底面 的距离，
又因为 1 ⊥底面 ，则点 1到底面 的距离即为 1长，
又因为 ， 分别为 ， 的中点，且 ⊥ ，
1 1 1 1则 = = 3 1 = 3 × 2 × 1 × 1 × 2 = 3．
第 7页，共 7页