2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是( )
A.
B.
C.
D.
3.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件：；事件：至少有一颗点数为；事件：；事件：则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
4.定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线对于曲线有如下命题：：存在常数，使得曲线为单轨道曲线；：存在常数，使得曲线为双轨道曲线下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.以为圆心且过点的圆的标准方程是______．
6.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 ______．
7.曲线在点处的切线与轴交点坐标为______．
8.从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有______种安排方式结果用数值表示．
9.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为 ．
10.已知函数的导函数为，且满足关系式，则______．
11.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为______．
12.已知等比数列中，，，则 ______．
13.某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______结果用最简分数表示
14.从某个角度观察篮球如图，可以得到一个对称的平面图形，如图所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为______．
15.若对恒成立，则的取值范围是 ．
16.在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列满足，．
求的通项公式；
设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
设平面与直线相交于点，求证：；
若，，，求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
王老师将全班名学生的高一数学期中考试满分分成绩分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组已知第一组、第二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
估计此次考试成绩的平均值同一组数据用该组数据的中点值代替；
王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这人的测试成绩至少个在内的概率；
已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为和，第四组考生成绩的平均数和方差分别为和，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．
20.本小题分
已知椭圆，为的上顶点，、是上不同于点的两点．
求椭圆的离心率；
若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点若有一个内角为，求点的坐标；
作，垂足为若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”．
试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由；
若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围．
已知函数为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.或
13.
14.
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16.
17.解：设等差数列的公差为，
则，解得，，
故；
由可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故，
因为，所以，所以，
所以或，
因为，所以的最小值是．
18.证明：平面与直线相交于点，平面平面，
四边形是菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，；
解：连接，取中点，连接、，
菱形中，，，是等边三角形，
是中点，，
平面，平面，，
、平面，，平面．
是直线与平面的所成角，
是中点，，．
平面，平面，，
为中点，，中，，
等边中，高，
中，，可得，即直线与平面的所成角等于．
19.解：由题意得，解得，
所以平均数等于．
由题意，内有人，内有人，
所以被选中进行优秀答卷展示的这人的测试成绩至少个在内的概率为．
设第二组、第四组的平均数与方差分别为，，，，由题意，
第二组、第四组分别有人和人，
所以成绩在第二组、第四组的平均数，
成绩在第二组、第四组的方差，
．
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．
20.解：由题意，，所以离心率；
如图，
由题意，，，，所以直线的方程为：，
设，显然有或两种情况，
当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则，
因为，
由，得：，解得舍去或，
故点的坐标是；
当时，此时，则，
因为，
由，得：，
解得舍去或，
故点的坐标是；
综上所述，点的坐标是或．
假设存在定点满足题意，
如图，
当的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由得，
由题意，，即，
，
，
所以，代入，得：，
所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为
直线的方程为，直线的方程为，
由，得：，即，
所以，
所以当时，为定值，
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意，
所以存在定点，使得为定值且定值为．
21.解：函数不是其定义域上的“一类函数”．
理由如下：
的定义域为，，存在，使得，
故不是其定义域上的“一类函数”
，所以．
若函数在上为“一类函数”，
则在上恒成立，
即在上恒成立．
因为在上的值域为，
所以，
所以实数的取值范围为；
，
依题意有对作意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而．
综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为．
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