2024-2025学年湖南省三湘名校联盟高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省三湘名校联盟高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中为真命题的是( )
A. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D. 球体是旋转体的一种类型
3.设外接圆的半径为，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
4.在复平面内，所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.在中，，记，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
8.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 是的充要条件
B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件
C. 是的充要条件
D. ，是的充要条件
10.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
11.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则 ______．
13.已知函数，则的图象经过定点______；的值域为______．
14.菱形中，，，，点在线段上，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，．
求；
证明：．
16.本小题分
已知函数．
求的定义域；
证明：曲线关于直线对称；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知复数，且，，且．
求的值；
证明：；
设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值．
18.本小题分
已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称．
求；
求的相位及其最小正周期；
当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围．
19.本小题分
已知海面上，两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与，两点处灯塔的距离均为海里游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得．
若，两点的距离为海里，求的长度；
求，两点距离的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，
所以，
所以，
因为，所以，即；
证明：因为，
所以
，
因为，所以，所以，
所以．
16.解：由，解得或，
故的定义域为．
证明：因为，
所以，
又，
所以，即曲线关于直线对称．
对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，
且在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
由知，曲线关于直线对称，
要使，需满足，且，
解得．
17.解：由已知，则，
所以，
又，则，
所以，
化简可得，
又，所以，即；
证明：由得，
所以，
又，
所以；
解：设在复平面上对应的向量为，
在复平面上对应的向量为，
所以，
故，解得．
18.解：将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
由题意该函数为偶函数，所以，
解得，
又因为，解得．
由可得，
故的相位为，
最小正周期为．
令，因为，所以
则原题等价于求使得不等式，恒成立时，对应的取值范围，
注意到当或时，，
当时，单调递增，单调递减，又因为，
所以时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
时，单调递减，单调递增，
所以时，，符合题意．
综上，满足题意，此时．
19.解：由题意知，，，
故为以为直角顶点的等腰直角三角形，
故，
又因为，
且由题意得，分布于直线两侧，
所以，
有，
由余弦定理可得，
解得海里；
由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为，
由的条件下，
故此时，即，
所以此时的长度即为，两点距离的最小值；
由于游船从两灯塔间穿过，
即与存在异于端点的交点，设为点．
由正弦定理得，在中，，
即，
其中为定值，
故增大时，减小，
又因为，
因为，，
所以，
故，
因为，
所以，
故海里．
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