2024-2025学年浙江省宁波市宁波中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数表示纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
2.下列结论中正确的是( )
A. 正四面体是四棱锥
B. 棱台的侧棱长均相等
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥
3.已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，已知，设，则( )
A. B.
C. D.
5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则此三角形( )
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
7.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角．，，，且的最小值为，向量的最大值是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线和平行，和异面
B. 直线和平行，和相交
C. 直线和相交，和异面
D. 直线和异面，和异面
10.设为复数，则下列结论中正确的是( )
A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为
C. D.
11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是( )
A. B. C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量与向量的夹角为则
13.如图，四边形是边长为的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为 ．
14.在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若向量，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知，复数．
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
17.本小题分
如图，在正四棱锥中，，且的面积为，点为棱的中点．
证明：平面；
求直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面．
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；
点是在侧面内的动点，满足，当最短时，求三棱锥的外接球的表面积．
19.本小题分
设是直线外一点，点在直线上点与点，任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上
若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
若，，由点对施以视角运算，，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，，
所以，
由，可得，
即，解得，
所以，
故 ；
依题意得，
因为，所以，
解得，则，
则，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为．

16.解：复数在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第四象限，
得，解得，
所以的取值范围是；
依题意，
，
又，则，解得，
，
所以．
17.解：如图，连接，交于点，连接，
因是正方形，则，
又点为棱的中点，则，故，
因平面，平面，故平面．
连接，则平面，因平面，故，
又，故可以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．
由，解得，
故，
则，
设直线与直线的所成角为，
则．

18.解：
如图，因平面平面，且，，
故平面必与平面相交，且交线与平行，设其与交于点，
连接，易得，且，则得，
则，故，因为的中点，则为的中点．
于是，
，
则，故．
如图，分别取的中点，连接，
易得，，则得，故，
又平面，，则；易得，同理可得，
又平面，故平面，
因，且点是在侧面内的动点，则点在线段上，
又，故当点为线段的中点时，最短．
设，在中，点为的外心，
连接，交于点，连，则平面，
则三棱锥的外接球的球心在上，设为点，
连接，则长即外接球半径，设，则，又，
在中，，在中，，
联立两方程，解得，故外接球的表面积为．
19.解：
由定义可知：，
在三角形中，，即，
在三角形中，，即，
因为是的中点，且，
所以
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得负值已舍去，
所以，
所以的周长为．
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
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