2024-2025学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，则( )
A. B. C. D.
2.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则值不可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为( )
圆的面积为；
椭圆的长轴为；
双曲线两渐近线的夹角正切值为；
抛物线的焦点到准线的距离为．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为______．
6.直线的倾斜角大小为______．
7.已知点为坐标原点，，则线段的中点坐标为______．
8.椭圆上一点到一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是______．
9.抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 ______．
10.已知函数，则 ______．
11.设实数，满足，则的最大值为______．
12.已知随机变量，，且，，则 ______．
13.由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______．
14.已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条
15.已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为______用反三角表示
16.唐代诗人罗隐在咏蜂中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房如图，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是______写出所有正确说法的序号
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求这个函数的导数；
Ⅱ求曲线在点处的切线方程．
18.本小题分
在数列中，，，．
设，求证：数列是等比数列；
求数列的前项和．
19.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
20.本小题分
垃圾分类是普惠民生的一项重要国策垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了名学生作为样本进行调查已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取名学生，该生是等级男生的概率为．
根据题意，完成下面的二维列联表并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？
男生 女生
等级
等级
附：
，其中．
为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢局者获得第一名并结束比赛甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢抽签决定第一局由主持人提问．
求比赛只进行局就结束的概率；
设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望．
21.本小题分
已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，直线：与有两个不同的交点，．
当时，求到的距离；
若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，证明：当的面积最小时，直线平行于轴；
设为轴上一点，是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：
18.证明：，
，
又，
数列是首项为、公比为的等比数列；
解：由可知，即，
．
19.解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
由直三棱柱知平面，
所以平面平面，又平面平面，又平面平面，
所以平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的正弦值为．
20.
21.解：由双曲线：的左焦点，右焦点，
时，，，
直线：，到的距离；
由双曲线：得两渐近线的方程为，
直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，，
由得交点的横坐标为，
由得交点的横坐标为，
，当时取等号，
所以当的面积最小时，直线平行于轴；
假设存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
设，，，
由，消去得，
且，解得且，
，，
的中点，
所以的垂直平分线方程为，令，则，
，则，
，
，
，
，
，解得，又，故，点，
存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，此时．
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